Задача: при фиксированной сумме положительных чисел x1 + x2 + ... + xn = S найти, при каких xi достигается максимум произведения P = x1 x2 ... xn. Рассмотрим два стандартных метода и случай xi ≥ 0.

1) Метод неравенства AM ≥ GM (самый короткий)

По неравенству среднее арифметическое ≥ среднее геометрическое:
(x1 + ... + xn)/n ≥ (x1 x2 ... xn)^{1/n}.Подставляя x1 + ... + xn = S, получаем
S/n ≥ P^{1/n} ⇒ P ≤ (S/n)^n.Равенство в AM = GM достигается тогда и только тогда, когда x1 = x2 = ... = xn.Следовательно, максимум произведения равен (S/n)^n и достигается при xi = S/n для всех i.

2) Метод множителей Лагранжа (вариация для строгого доказательства)

Пусть xi > 0 и нужно максимизировать P = x1 x2 ... xn при сумме S. Удобно максимизировать ln P = ∑_{i=1}^n ln xi (монотонная трансформация).Построим функцию Лагранжа L = ∑ ln xi − λ(∑ xi − S).Условие стационарности: ∂L/∂xi = 1/xi − λ = 0 ⇒ xi = 1/λ для всех i.Отсюда xi одинаковы, и в силу суммы: xi = S/n.Так как ln x — вогнутая функция, то ∑ ln xi — вогнутая функция по вектору x на допустимом множестве; найденная стационарная точка является глобальным максимумом.Значение максимума: P_max = (S/n)^n. Равенство единственно (при заданном S и ненулевых xi все равны).

3) Случай ограничения xi ≥ 0

Если S = 0, то все xi = 0 и произведение P = 0.Если S > 0, множество допустимых векторов (xi ≥ 0, ∑ xi = S) компактно и P непрерывна, значит максимум существует. Из пункта выше видно, что внутреннее решение xi = S/n (все положительны) даёт положительный продукт (S/n)^n. Любая точка на границе, где хотя бы одно xi = 0, даёт произведение 0, что строго меньше (S/n)^n. Таким образом при S > 0 максимум снова достигается при xi = S/n.Вывод: для xi ≥ 0 и S > 0 максимум уникально достигается при xi = S/n; при S = 0 все xi = 0.

Краткое резюме:

Максимум произведения при фиксированной сумме S достигается при равных слагаемых xi = S/n.Значение максимума: P_max = (S/n)^n.Методы: AM ≥ GM дает короткое неравенство с условием равенства; метод Лагранжа даёт тот же результат и удобно показывает стационарную точку и её глобальность (через вогнутость ln).