Ключевая точка — функция "квадратный корень" в стандартной школьной/аналитической трактовке — это главный (principal) корень и всегда неотрицательна. Поэтому для любых вещественных x справедливо

sqrt(x^2) = |x|,

а не просто x в общем случае. Отсюда сразу следуют частные случаи:

Если заранее известно, что x ≥ 0, то sqrt(x^2) = x. Если заранее известно, что x ≤ 0, то sqrt(x^2) = −x. Если ограничений на знак x нет, то надо писать sqrt(x^2) = |x|.

Почему так? По определению sqrt(y) — неотрицательное число, квадрат которого равен y (при y ≥ 0). Число x^2 ≥ 0, уравнение t^2 = x^2 имеет два решения ±|x|, из которых главный корень — неотрицательный |x|.

Типичные тонкости и ошибки

Ошибка: утверждать sqrt(x^2) = x для всех x. Это неверно: например для x = −3 имеем sqrt(9) = 3 ≠ −3. При решении уравнений: из x^2 = a (a > 0) следует x = ±sqrt(a), а не x = sqrt(a) только. Аналогично уравнение sqrt(x^2) = b даёт |x| = b и т. п. При взятии производной: sqrt(x^2) = |x|, поэтому (sqrt(x^2))' = (|x|)' = sign(x) для x ≠ 0, а не 1. Это важный смысловой нюанс в анализе. В контексте комплексных чисел понятие "главного корня" требует выбора ветви: там sqrt(z^2) вообще не равен |z|, и утверждение sqrt(z^2)=z не корректно без оговорок.

Как корректно формулировать утверждения, включающие этот шаг

Лучше явно использовать модуль: "sqrt(x^2) = |x| для всех x ∈ R". Если вы хотите избавиться от модуля, явно укажите условие на знак: "Если x ≥ 0, то sqrt(x^2) = x". При решении уравнений пишите шаги так: из x^2 = a следует x = ±sqrt(a). Из sqrt(x^2) = x следует |x| = x, т.е. x ≥ 0. Если в задаче переменная по смыслу неотрицательна (длины, радиусы и т. п.), укажите это: "Поскольку x — длина, x ≥ 0, следовательно sqrt(x^2)=x."

Краткий итог

Всегда помните: для реальных чисел sqrt(x^2)=|x|. Используйте это явно или оговаривайте знак x, чтобы не допустить ошибок.