Ответ: предел = -1/6.

Кратко по методам, их уместности и подводным камням.

1) Ряд Тейлора / разложение в ряд

sin x = x - x^3/6 + o(x^3) при x → 0, поэтому (sin x − x)/x^3 → −1/6.Плюс: самый короткий и наглядный способ, даёт сразу коэффициент при x^3.Подводный камень: надо уметь обосновать остаточный член (например, через формулу Лагранжа для остатка или запись o(x^3)). Без контроля остатка строгий вывод не совсем корректен.

2) Правило Лопиталя

Нумератор и знаменатель → 0, применяем правило три раза:
f(x)=sin x − x, g(x)=x^3
f' = cos x − 1, g' = 3x^2
f'' = −sin x, g'' = 6x
f''' = −cos x, g''' = 6
Значит предел = f'''(0)/g''' = (−cos 0)/6 = −1/6.Плюс: элементарно и формально строго (если выполняются условия Лопиталя).Подводный камень: нужно трижды дифференцировать и на каждом шаге проверять условие 0/0 (или ±∞/±∞) и дифференцируемость в проколотой окрестности; иногда делают арифметическую ошибку в знаках или числах при дифференцировании.

3) Сравнение и неравенства

Можно показать с помощью теоремы о среднем значении или оценок остатка Тейлора, что sin x = x − x^3/6 + O(x^5), значит (sin x − x)/x^3 → −1/6.Прямые классические простые неравенства (|sin x| ≤ |x| и т. п.) здесь недостаточны, нужно уже более тонкое неравенство для остатка (или возвращаемся к Тейлору).Подводный камень: без использования формулы остатка Тейлора или интегрального представления получить нужную оценку непросто.

Какой способ выбрать

Если разрешено использовать ряды Тейлора — это самый короткий и наглядный путь.Если хочется более «элементарного» на единственном дифференцировании — L'Hôpital тоже хорош и строг (требует трёх применений).Если нужно строго без рядов и без многократного Лопиталя — можно использовать формулу Лагранжа для остатка Тейлора или оценку через MVT/интегральное представление.

Итого: рекомендую либо ряд Тейлора (быстро) либо Лопиталя (если надо «школьно-аналитически»).