Ключевая мысль — тождество
tan(a+b) = (tan a + tan b)/(1 − tan a·tan b)
верно только там, где обе части имеют смысл (не делим на ноль и не берём tan в точках разрыва). Ниже — что именно надо учитывать и как корректно пользоваться формулой в доказательствах и вычислениях.

1) Область определения (когда формула имеет смысл как равенство конечных чисел)

tan a и tan b определены ⇔ cos a ≠ 0 и cos b ≠ 0.tan(a+b) определён ⇔ cos(a+b) ≠ 0.Эквивалентное условие для правой части: tan a и tan b конечны и 1 − tan a·tan b ≠ 0 (иначе деление на ноль).
Итого: формула верна для всех a,b такие, что cos a ≠0, cos b ≠0 и 1 − tan a·tan b ≠0 (равносильно cos(a+b) ≠0).

2) Почему такое условие
Формула выводится из
tan(a+b) = sin(a+b)/cos(a+b)
и разложения sin(a+b), cos(a+b); в процессе появляется множитель cos a·cos b и в конце знаменатель равен cos(a+b) = cos a·cos b − sin a·sin b = cos a·cos b·(1 − tan a·tan b). Чтобы деление было корректно, нужен cos a·cos b ≠0 и cos(a+b) ≠0.

3) Особый случай 1 − tan a·tan b = 0
Если tan a·tan b = 1, то cos(a+b) = 0 и tan(a+b) не существует (стремится к ±∞ по односторонним пределам). Правой части получается деление на ноль — выражение не определено. В таких ситуациях нельзя записывать конечное значение RHS; вместо этого отмечают, что a+b = π/2 + kπ и tan(a+b) не существует (или бесконечен в предельном смысле).

4) Как корректно формулировать применение
Лучше всего формулировать так:
«Для всех a,b∈R таких, что cos a ≠ 0, cos b ≠ 0 и cos(a+b) ≠ 0 (эквивалентно tan a и tan b конечны и 1 − tan a·tan b ≠ 0) справедливо tan(a+b) = (tan a + tan b)/(1 − tan a·tan b).»
Если в задаче возможна ситуация 1 − tan a·tan b = 0 — её нужно отдельно рассмотреть как отдельный случай.

5) При решении уравнений
Если вы получаете равенство с делением на (1 − tan a·tan b), нельзя просто умножать на этот множитель, не рассматривая случай, когда он равен нулю. Обязательное правило:

умножая на 1 − tan a·tan b, предварительно выделите и проверьте случай 1 − tan a·tan b = 0 отдельно (он даёт a+b = π/2 + kπ).

6) При доказательстве неравенств
При переходе от неравенства с дробью к неравенству без дроби нужно учитывать знак знаменателя:

если 1 − tan a·tan b > 0, знак не меняется при домножении;если 1 − tan a·tan b < 0, знак меняется;
поэтому либо заранее ограничьте собой область так, чтобы знак знаменателя был известен, либо разбейте на случаи. В большинстве задач на сравнительные утверждения проще воспользоваться монотонностью тангенса: tan x монотонно возрастает на каждом интервале (−π/2 + kπ, π/2 + kπ), следовательно, если a и a+b лежат в одном таком интервале, сравнение tan(a+b) и tan a равносильно сравнению a+b и a, т.е. b>0.

7) Практические рекомендации

При выводе формулы начать с sin/cos: tan(a+b) = sin(a+b)/cos(a+b) и указать условия cos a·cos b ≠ 0 и cos(a+b) ≠ 0.Всегда проверяйте случай 1 − tan a·tan b = 0 отдельно.При трансформациях неравенств учитывайте знак знаменателя или работайте с монотонностью tan на соответствующем промежутке.При возвращении из значения tan к аргументу (через arctan) помните о периодичности: решение tan x = y даёт x = arctan y + kπ.

8) Короткие примеры

a = b = π/4: tan a = tan b = 1, 1 − tan a·tan b = 0. Тогда tan(a+b)=tan(π/2) не определён — формула неприменима (деление на 0).Если 0 < a,b < π/4, то tan a, tan b >0 и tan a·tan b <1, значит знаменатель >0 и можно умножать не меняя знака в неравенствах; проще, однако, использовать монотонность tan на (0,π/2).

Итого: формула верна при условии, что обе стороны определены; при применении обязательно проверить/записать условия определённости и отдельно рассмотреть случай, когда знаменатель равен нулю. Это предотвращает потерю решений и некорректные превращения при решении уравнений и неравенств.