Утверждение верно: если f_n непрерывны на отрезке [a,b] и fn -> f равномерно на [a,b], то предел можно интегрировать покомпонентно, то есть
lim{n->∞} ∫_a^b f_n = ∫_a^b f.

Доказательство. Поскольку f_n непрерывны на компактном отрезке [a,b], они (и их равномерный предел f) интегрируемы (Riemann — достаточно непрерывности на отрезке). Равномерная сходимость означает, что Mn := sup{x∈[a,b]} |f_n(x)-f(x)| -> 0 при n->∞. Тогда
|∫_a^b f_n - ∫_a^b f| = |∫_a^b (f_n - f)| ≤ ∫_a^b |f_n - f| ≤ (b-a) M_n -> 0,
откуда следует требуемое равенство пределов интегралов.

Контрпример при ослаблении условия равномерности. Если оставить только непрерывность и требовать лишь поточечной сходимости f_n -> f, то утверждение неверно. Пример (треугольные «булыжки»):
на [0,1] положим
f_n(x) = n (1 - n |x - 1/n|) для 0 ≤ x ≤ 2/n, и f_n(x)=0 вне этого интервала.
Каждая f_n непрерывна, площадь треугольника равна 1, поэтому ∫_0^1 f_n = 1 для всех n, а при любом фиксированном x>0 при больших n точка x вне опоры функции, так что f_n(x)->0; также f_n(0)=0, значит f_n -> 0 точечно, но ∫_0^1 f_n = 1 не стремится к ∫_0^1 0 = 0. Таким образом, поточечной сходимости недостаточно.

Ослабления/усиления условий:

Непрерывность можно ослабить: достаточно требовать только (Riemann-)интегрируемость каждой f_n и равномерную сходимость f_n -> f на [a,b]; доказательство то же (оценка через суп-норму). То есть непрерывность здесь не нужна, она была достаточным условием интегрируемости.Для интегралов по мере (Lebesgue): равномерная сходимость также даёт результат без дополнительных условий. Для более слабой (точечной или почти всюду) сходимости достаточным условием является теорема о доминированной сходимости: если f_n измеримы, f_n -> f почти всюду и |f_n| ≤ g для некоторой g ∈ L^1, то ∫ f_n -> ∫ f. Это существенно слабее требования равномерности.Для несобственных интегралов (по неограниченному интервалу или с особенностями) нужно либо равномерная сходимость на каждом конечном отрезке и дополнительная информация о стягивании хвостов интегралов (равномерная сходимость + равномерная интегрируемость), либо применять критерии доминации/монотонности. Простой пример: равномерная сходимость на каждом компакте не гарантирует interchange предела и несобственного интеграла без контроля на хвостах.Ещё одно ослабление: не нужна одинаковая длина отрезка — достаточно конечной меры множества: |∫(f_n-f)| ≤ μ(E) sup|f_n-f|.

Итак: ключевое условие для простого доказательства — равномерная сходимость на множестве конечной меры (например, на отрезке). Непрерывность можно заменить на интегрируемость. Для более общих ситуаций (точечная сходимость) необходимы другие условия (доминирование, монотонность и т.п.).