Утверждение: пересечение медиан любого треугольника делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от соответствующей вершины (то есть от вершины до точки пересечения приходится вдвое больше, чем от этой точки до середины противоположной стороны).

Это утверждение верно. Приведу несколько доказательств и поясню геометрические идеи.

1) Координатное (векторное) доказательство (самое прямое)
Пусть A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3). Пусть M — середина BC, тогда M = ((x2+x3)/2, (y2+y3)/2).
Пусть G — пересечение двух медиан (например, AM и медианы из B). Поскольку G лежит на медиане AM, можно записать его как
G = A + t(M − A) для некоторного t.
Если рассматривать также медиану из B, аналогично получаем G = B + s(N − B), где N — середина AC.
Решая систему для тождества G = (координаты) получаем G = ((x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3).
Подставляем в выражение вдоль AM:
G = A + (2/3)(M − A).
Отсюда t = 2/3, значит длины на медиане соотносятся как AG : GM = 2 : 1.

В векторной записи то же: если позиции вершин a,b,c, то M = (b+c)/2, а пересечение медиан G = (a+b+c)/3. Тогда
G − A = (b+c−2a)/3 = (2/3)(M − A),
отсюда AG = (2/3)AM и соответственно GM = (1/3)AM.

2) Геометрическое (интуитивно через цент масс / площади)
Если представить треугольник как однородную плоскую пластинку, то точка равновесия (центр масс) располагается в той же точке, где пересекаются медианы. Центр масс пластинки с равномерной плотностью можно получить как сумма вкладов трёх вершин: он лежит в точке с координатами среднего арифметического координат вершин — то есть в (A+B+C)/3. Это даёт тот же результат: точка делит медианы в отношении 2:1 от вершины.

Можно дать и чисто площадной аргумент: две медианы (например, AM и BN, где M и N — середины сторон) пересекаются в G. Медиана делит треугольник на две равные по площади части; пересечение двух медиан разбивает треугольник на четыре треугольника, некоторые из которых имеют равные площади, и продолжая рассуждение (или добавив третью медиану) доказываем, что пересечение делит каждую медиану в отношении 2:1 — в частности, через сравнение площадей треугольников, имеющих общую высоту к вершине A: если две такие маленькие фигуры имеют равные площади, то их основания на медиане соотносятся как 1:2 и т. п.

3) Гомотетия / симметрия
Медиана AM и точка G таковы, что если выполнить гомотетию с центром G и коэффициентом −1/2 (или с центром A и коэффициентом 2/3), то середина M и вершина A переходят друг в друга. Это тоже отражает отношение 2:1 вдоль прямой AM.

Выводы и комментарии

Утверждение верно для любой вершины: для каждой медианы отношение от вершины до точки пересечения к части от этой точки до середины противоположной стороны равно 2:1.Точка пересечения медиан называется центроид (или центр масс, центр тяжести) треугольника. Она единственна — две медианы уже пересекаются в точке, а третья обязательно проходит через эту же точку (по симметрии/векторным соображениям).Физическая интерпретация (центр масс) даёт наглядное понимание: если треугольник — однородная пластинка, то она будет равновеситьcя на опоре в этой точке.

Таким образом утверждение доказано и объяснено тремя разными способами: координатным, площадным/интуитивным и гомотетическим.