Начнём с анализа исходной формулировки и необходимых условий.

1) Что нужно явно указать в формулировке

Многочлен должен иметь вещественные коэффициенты и нечётную степень. Иначе утверждение не обязательно верно (если коэффициенты комплексные, корней на R может не быть).Под «нечётной степени» подразумевается, что ведущий коэффициент a_n ≠ 0 и степень n — нечётное целое.Повод для применения непрерывности: многочлен как функция p: R → R является непрерывной на R, поэтому применима теорема о промежуточных значениях (IVT).

Более строгая формулировка
Пусть p(x) = an x^n + a{n-1} x^{n-1} + … + a_0 — многочлен с вещественными коэффициентами, где n ∈ N нечётно и a_n ≠ 0. Тогда существует c ∈ R такой, что p(c) = 0.

Два строгих доказательства

Доказательство 1 (анализ, пределы и IVT).
Обозначим S = sum_{k=0}^{n-1} |a_k|. Возьмём R = max(1, 2S/|an|). Для |x| ≥ R имеем
sum{k=0}^{n-1} |a_k||x|^k ≤ S |x|^{\,n-1} ≤ S |x|^n ≤ (|a_n|/2) |x|^n,
откуда |an x^n| > |sum{k=0}^{n-1} a_k x^k| и, следовательно, знак p(x) совпадает со знаком a_n x^n.

Поскольку n нечётно, x^n при x → +∞ и при x → −∞ имеет противоположные знаки; а значит для x = R и x = −R значения p(R) и p(−R) имеют противоположные знаки. По теореме о промежуточном значении, поскольку p непрерывна на отрезке [−R, R], существует c ∈ (−R, R) с p(c) = 0.

Доказательство 2 (алгебра, теорема о комплексных корнях).
По основной теореме алгебры p имеет ровно n комплексных корней с учётом кратности. Если коэффициенты вещественны, комплексные корни идут попарно сопряжёнными (если z — корень, то \bar z тоже корень). Поэтому количество невещественных корней чётно, и при нечётном n остаётся по крайней мере один вещественный корень.

Замечания и уточнения

Утверждение не требует дополнительной «условности» о том, что коэффициенты конечны и т. п. — это автоматически выполняется для многочлена. Главное — коэффициенты должны быть вещественными и степень действительно нечётна.Обобщение: любое непрерывное на R отображение, у которого пределы при x→+∞ и x→−∞ имеют противоположные знаки (или бесконечности с противоположными направлениями), имеет нулевой корень (IVT).

Таким образом, корректная строгая формулировка и одно или оба приведённых доказательства дают требуемое утверждение.