Рассмотрим уравнение
sqrt$x+1$ + sqrt$2x-3$ = 5
и проанализируем два «шаблона» решения и места, где могут появиться посторонние корни.

1) Начнём с области допустимых значений.
Радикалы требуют
x+1 ≥ 0 ⇒ x ≥ −1,
2x−3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3/2.
Итак, из начала работы имеем глобальную область: x ≥ 3/2.

2) Метод «подстановка»
Пусть a = sqrt$x+1$ ≥ 0, b = sqrt$2x-3$ ≥ 0. Тогда a+b = 5, причём a^2 = x+1, b^2 = 2x−3, т.е. b = sqrt$2a^2-5$ $приэтомвыражениеподкорнемдолжнобыть\ge 0$.
Из a+b=5 получаем b = 5−a. Но поскольку b ≥ 0, необходимо дополнительно требовать 5−a ≥ 0 ⇒ a ≤ 5. Далее возводим в квадрат:
b^2 = $5-a$^2 ⇒ 2a^2−5 = 25 −10a + a^2 ⇒ a^2 +10a −30 = 0.
Решения: a = −5 ± √55. Из них допустимо только a = −5 + √55 ≈ 2.416 $второеотрицательно$. Тогда
x = a^2 −1 = $-5+\surd 55$^2 −1 = 79 − 10√55 ≈ 4.838.
Последний шаг — подстановка этого x в исходное уравнение: sqrt$x+1$+sqrt$2x-3$ = 5 $проверяется$, значит это корректное решение.

Где могли появиться посторонние корни в этом методе?

При переходе b = 5−a → b^2 = $5-a$^2 мы потеряли условие знака b ≥ 0. Если бы мы не наложили условие 5−a ≥ 0, то получили бы дополнительный корень a = −5 − √55 $отответаквадратичного$, который даёт b = 5−a > 0, но он не соответствует определению a = sqrt$...$, т.к. a было неотрицательно. Поэтому важно сохранять и проверять знаковые ограничения после подстановки.

3) Метод «поэтапного возведения в квадрат»
Начнём напрямую:
sqrt$x+1$+sqrt$2x-3$=5.
Возводим в квадрат:
x+1 + 2x−3 + 2 sqrt$(x+1)(2x-3)$ = 25
⇒ 3x −2 + 2 sqrt$(x+1)(2x-3)$ = 25
⇒ 2 sqrt$(x+1)(2x-3)$ = 27 − 3x
⇒ sqrt$(x+1)(2x-3)$ = $27-3x$/2.

Заметим: левая часть ≥ 0, значит обязательно $27-3x$/2 ≥ 0 ⇒ x ≤ 9. С учётом предыдущего ограничения получаем 3/2 ≤ x ≤ 9.

Теперь возводим в квадрат ещё раз:
$x+1$$2x-3$ = $(27-3x)/2$^2.
Решая это, получаем два корня: x = 79 ± 10√55 ≈ 4.838 и ≈ 153.162. Но из ограничения x ≤ 9 остаётся только x ≈ 4.838 = 79 − 10√55. Подстановка в исходное уравнение подтверждает, что он действительно работает; второй корень отсекается условием x ≤ 9 $иприподстановкеневыполняетсяисходноеуравнение$.

Где появились посторонние корни в этом методе?

При каждом возведении в квадрат теряется информация о знаке: уравнение f = g влечёт f^2 = g^2, но обратное не обязательно. Поэтому после возведения в квадрат появляются решения, при которых исходно могли выполняться f = −g. Чтобы не принимать такие решения, нужно:
после каждого шага, где вы получили равенство вида sqrt$...$ = выражение, контролировать знак правой части $онадолжнабыть\ge 0$;в конце проверять все кандидаты в исходном уравнении.

4) Общее правило проверки допустимости решений для радикальных уравнений

Сначала составьте область допустимых значений $всеподкоренныевыражения\ge 0идругиеочевидныеограничения$.Если можно — изолируйте один радикал на одной стороне и только затем возводите в квадрат $этоснижаетчислонеожиданныхвариантов$.После каждого возведения в квадрат:
проверьте дополнительные логические условия $например,еслиполучилиsqrt(...)=R,тоR\ge 0$;запишите промежуточную область допустимых значений, которая может сузиться.По завершении решения обязательно подставьте все найденные кандидаты в исходное уравнение — только это гарантирует, что корень не посторонний.Учтите: возведение в квадрат никогда не даёт «новую истинную информацию» о знаках — оно может только добавить лишние решения, поэтому проверка на исходном уравнении обязательна.

Краткое резюме для нашего примера: оба метода приводят к одному истинному решению x = 79 − 10√55. Посторонний корень $79+10\surd 55$ появляется после квадрирования и отсекается требованием неотрицательности правой части или проверкой в исходном уравнении.