Рассмотрим условия P$1$=2, P$2$=3, P$3$=4. Заметим, что эти значения образуют линейную функцию x+1 на x=1,2,3. Введём вспомогательный многочлен
S$x$ = P$x$ - $x+1$.
Тогда S$1$=S$2$=S$3$=0, значит S$x$ делится на C$x$ = $x-1$$x-2$$x-3$. Пусть
S$x$ = C$x$·L$x$,
где L$x$ — многочлен с целыми коэффициентами.

Так как deg P = 4, то deg S ≤ 4, поэтому deg L ≤ 1. Пусть L$x$ = a x + b, где a,b ∈ Z. Получаем общую форму всех искомых многочленов:
P$x$ = x + 1 + $x-1$$x-2$$x-3$$ax+b$, a,b ∈ Z, a ≠ 0 $чтобыстепеньбыларовно4$.

Для удобства можно раскрыть множители: $x-1$$x-2$$x-3$ = x^3 − 6x^2 + 11x − 6. Тогда
P$x$ = a x^4 + $b-6a$ x^3 + $11a-6b$ x^2 + $11b-6a+1$ x + $1-6b$,
где a,b ∈ Z, a ≠ 0.

Таким образом все решения описываются двумя целыми параметрами a и b $бесконечномного$.

Влияние дополнительных условий

1) Простота корней $неткратныхкорней$.

Многочлен имеет кратный корень тогда и только тогда, когда P и P' имеют ненулевая общий множитель, т.е. gcd$P,P^{\prime }$ ≠ 1, или эквивалентно резольвента Res_x$P,P^{\prime }$ = 0.Подстановка общей формы P$x$ даёт алгебраическое уравнение на параметры a,b $результант—многочленотaиb$. Это алгебраическое условие вычленяет специальную подсеть пар $a,b$. В частности, «обычные» $случайные$ целые a,b дают простые корни, а кратность возникает лишь при выполнении определённого полиномиального соотношения между a и b. Поэтому требование простоты корней обычно отсекает счётное $и,какправило,конечноедляцелыхрешений$ подмножество пар $a,b$. На практике проверку простоты для конкретной пары $a,b$ проводят вычислением gcd$P,P^{\prime }$ или вычислением дискриминанта.

2) Неотрицательность коэффициентов.

Из раскрытой формы коэффициентов получаем систему неравенств
a ≥ 0,
b − 6a ≥ 0,
11a − 6b ≥ 0,
11b − 6a + 1 ≥ 0,
1 − 6b ≥ 0.Так как a ≠ 0 и целое, из a ≥ 0 следует a ≥ 1. Из b − 6a ≥ 0 получаем b ≥ 6a ≥ 6. Из 11a − 6b ≥ 0 следует b ≤ 11a/6. Сравнивая b ≥ 6a и b ≤ 11a/6, получаем 6a ≤ 11a/6, что даёт 36a ≤ 11a, т.е. 25a ≤ 0, что невозможно при a ≥ 1. Следовательно нет ни одного многочлена степени 4 с целыми коэффициентами, удовлетворяющего P$1$=2, P$2$=3, P$3$=4 и имеющего все коэффициенты неотрицательными.Вывод: требование неотрицательности всех коэффициентов полностью исключает решения степени 4.

3) Другие дополнительные условия $корницелые,коэффициентыограничённыеит.п.$

Если требуется, например, целочисленность корней или целочисленные корни + целочисленные коэффициенты, то это даёт дополнительные алгебраические уравнения/делимости на параметры a,b и, как правило, резко ограничивает $вплотьдоконечногочисла$ возможных пар $a,b$.В общем случае любая линейная $вa,b$ или многочленная дополнительная связь переводится в систему ограничений на a и b, которую можно изучать стандартными методами диофантовых уравнений, неравенств или вычисления результантов.

Примеры:

a = 1, b = 0 даёт P$x$ = x^4 − 6x^3 + 11x^2 − 5x + 1 $проверить:P(1)=2,P(2)=3,P(3)=4$.a = 1, b = 1 даёт P$x$ = x^4 − 5x^3 + 5x^2 + 6x − 5.

Итог: общее семейство всех искомых многочленов имеет вид P$x$ = x+1 + $x-1$$x-2$$x-3$$ax+b$ с целыми a,b, a ≠ 0. Дополнительные условия накладывают дополнительные алгебраические или неравенственные ограничения на параметры a,b; требование простоты корней исключает особые $алгебраическизависимые$ пары $a,b$, требование неотрицательности всех коэффициентов в данном случае несовместимо с a ≠ 0. Если хотите, могу: $i$ привести анализ условия кратности корня через результатант и попытаться найти все пары $a,b$ с кратным корнем; $ii$ перебором показать, какие первые несколько пар $a,b$ дают простые корни.