Обозначения: a = BC, b = AC, c = AB. Дано: угол A = 60°, медиана к стороне BC равна m_a = 5, и b − c = 3.

1) Система уравнений

Закон косинусов при угле A = 60°:
a^2 = b^2 + c^2 − b c.Формула для длины медианы m_a:
m_a^2 = $2b^2+2c^2-a^2$/4.Разность сторон:
b − c = 3.

Подставим a^2 из закона косинусов в формулу медианы:
m_a^2 = $2b^2+2c^2-(b^2+c^2-bc)$/4 = $b^2+c^2+bc$/4.

Так как m_a = 5, получаем
$1$ b^2 + c^2 + b c = 100,
$2$ b − c = 3.

Это и есть сводная система для b и c.

2) Решение системы $алгебраически$ Подставим c = b − 3 в $1$:
b^2 + $b-3$^2 + b$b-3$ = 100.
Раскрывая скобки:
3b^2 − 9b − 91 = 0.

Решая квадратное уравнение:
b = $$9\pm sqrt(1173)$$/6.
Отрицательный корень даёт b < 0, поэтому берём только положительный:
b = $9+sqrt(1173)$/6 ≈ 7.2113.
Тогда c = b − 3 = $sqrt(1173)-9$/6 ≈ 4.2113.

Далее a по закону косинусов:
a^2 = b^2 + c^2 − b c ≈ 39.36, откуда a ≈ 6.275.

3) Альтернативные методы

Ввести u = b + c и v = b − c $внашемслучаеv=3$. Тогда b = $u+v$/2, c = $u-v$/2. Подставка в уравнение $1$ даёт простое уравнение на u^2: $3u^2+9$/4 = 100 ⇒ u^2 = 391/3, откуда тот же точный b, c.Численные методы: можно решать исходную систему численно $методНьютонаилипереборпооднойпеременной$ — полезно, если точного решения не удаётся получить в замкнутой форме.Геометрическая интерпретация: середина BC находится на окружности радиуса 5 с центром в A; точки B и C симметричны относительно этой середины, при этом расстояния AC и AB отличаются на 3. Геометрически это приводит к единственному положительному решению при заданных знаке разности.

4) Случаи существования и единственности

У нас получилось единственное положительное решение для $b,c$. Другой корень квадратичного уравнения отрицателен и не физичен. Следовательно, для заданных данных $уголA=60°,m_a=5,b-c=3$ существует ровно один не вырожденный треугольник (с учётом маркировки вершин, т.е. b > c).Условия треугольника $неравенства$ выполняются: b + c > a и др. $проверяетсячисленно$.Если бы была задана разность с противоположным знаком $b-c=-3$, то получился бы другой треугольник $симметричныйотносительноперестановкиBиC$. Если бы уравнение для b давало два положительных корня, имели быся бы две геометрически различные конфигурации; в нашем случае второй корень отрицателен, поэтому мультипликативной двусмысленности нет.

Итог $точныеиприближённыезначения$:
b = $9+sqrt(1173)$/6 ≈ 7.2113,
c = $sqrt(1173)-9$/6 ≈ 4.2113,
a ≈ 6.275.