На самом деле «ошибки» как таковой в вычислениях нет — но в исходной формулировке скрыта неточность, связанная с обращением с бесконечной суммой. Разберу по пунктам.

1) Тождество
1/$n(n+1)$ = 1/n − 1/$n+1$ верно для любого целого n ≥ 1 $этопростаяраспадающаясянапростыедробиформула$.

2) Для конечного N сумма
SN = sum{n=1}^N 1/$n(n+1)$ действительно телескопирует:
SN = sum{n=1}^N $1/n-1/(n+1)$ = 1 − 1/$N+1$.
Это строго верно $складываемконечноечислоравенств$.

3) Предел
lim_{N→∞} SN = lim{N→∞} $1-1/(N+1)$ = 1
также верен, так как 1/$N+1$ → 0 при N → ∞. Следовательно ряд sum_{n=1}^∞ 1/$n(n+1)$ сходится и его сумма равна 1.

Что требовало уточнения:

Нельзя просто «сокращать» бесконечные ряды как будто это конечные суммы без объяснения: операция сокращения применяема к частичным суммам S_N, и сходимость ряда оправдывает переход к пределу. В общем случае $особеннодляусловносходящихсярядов$ такие формальные сокращения/перестановки членов могут быть некорректны.Здесь оправдание перехода к пределу тривиально, потому что все члены положительны и S_N монотонно растёт и ограничен $поэтомусуществуетпредел$ — или прямо потому что 1/$N+1$ → 0.

Краткий корректный вывод: каждое равенство верно, сумма первых N членов равна 1 − 1/$N+1$, а ряд при N → ∞ действительно сходится к 1. Главное замечание — явно работать через частичные суммы и предел, а не оперировать «бесконечным» сокращением как с конечным.