Коротко — критерии выбора, оценки погрешности и наглядный пример.

1) Ошибка и асимптотика

Метод трапеций $составной$ на отрезке $$a,b$$, шаг h=$b-a$/n. При f ∈ C^2$[a,b]$ ошибка обозначается
|ET| ≤ $b-a$ h^2 /12 · max{$$a,b$$} |f''$x$|,
т.е. порядок O$h^2$. Для достижения точности ε нужно n = O${\epsilon }^{-1/2}$ точек $в1D$.
Для особо гладких/периодических функций с аналитичностью сходимость может быть гораздо быстрее $спектральная,оченьмалыеошибкиприумеренномn$.

Метод Монте‑Карло $обычныйMC$, выбор точек X_i ~ Unif$[a,b]$ и оценка I_N = $b-a$·$1/N$ Σ f$X_i$. По ЦПТ стандартная ошибка $стандартноеотклонениеоценки$ σ$I_N$ = $b-a$ · sqrt$Var(f(X))$/√N = O$N^{-1/2}$.
Чтобы получить среднеквадратичную погрешность ~ε нужно N = O${\epsilon }^{-2}$. Зависимость от размерности отсутствует $ошибка\propto N^{-1/2}независимоотd$.

2) Критерии выбора в зависимости от f и задачи

Низкая размерность $d=1,2$ и f гладкая $C^2илилучше$, без разрывов и сильных локализаций:
предпочитают детерминированную квадратуру $трапеции,Симпсон,Гаусс$ — быстрее достижение малой ε $n{\epsilon }^{-1/2}вместоN{\epsilon }^{-2}$.Периодические и очень гладкие функции:
составная трапецоидальная формула особенно эффективна $быстрая/спектральнаясходимость$.Наличие сингулярностей/разрывов/неограниченных производных:
обычный равномерный трапецоид может давать большие ошибки; лучше применять:
преобразования переменной $удалениесингулярности$,адаптивную сетку или специальные правила $квадратурaсвесом$,либо стохастический метод $MC$ — он требует лишь интегрируемости и устойчив к локальным пикам.Высокая размерность $d\ge \mathrm{5...10}$:
решающее преимущество у Монте‑Карло: детерминированные решётки страдают «проклятием размерности» — число узлов ~ m^d. Для достижения точности ε композиционные правила требуют ~ε^{−d/2} оценок, тогда как MC требует ~ε^{−2}, независимо от d.Нелинейные/шумные/стоохастические f или дорогостоящая модель:
MC совместим с методами уменьшения дисперсии $importancesampling,stratification,controlvariates$ и даёт несмещённую оценку; при дорогих f пользуются вариационными методами и квазиномером $QMC$, чтобы снизить дисперсию.

3) Преимущества/недостатки сводным списком

Трапеции $детерминированные$: + высокая точность для гладких 1D функций, быстрый рост точности; − плохо при разрывах/сильных локальных пиках, неэффективно в высоких d.Монте‑Карло: + простота, устойчивость к размерности, работает при слабых требованиях к гладкости; − медленная сходимость O$N^{-1/2}$, требуется большой N для малых ε, результаты стохастичны $нужнооцениватьдисперсию$.

4) Конкретный пример, где «очевидный» трапецоид хуже MC
Рассмотрим интеграл на $$0,1$$ функции, представляющей узкий пик:
f$x$ = 1, если x ∈ $$x0,x0+\delta$$, иначе 0,
где δ очень мало, скажем δ = 10^{−6}, а x0 — произвольное число, не совпадающее с узлами сетки.

Интеграл I = δ = 10^{−6}.Составной трапецоид с n = 1000 $h=10^{-3}$: узлы x_k = k·10^{−3}. Если интервал $$x0,x0+\delta$$ не содержит ни одного узла $чтовполневероятноприслучайномx0$, значения f на всех узлах равны 0 и трапецоид даст оценку 0 — полная потеря сигнала $ошибка=10^{-6},относительнаяошибка100$.Монте‑Карло с N = 10^6 случайных точек: ожидаемое число попаданий в пик ≈ N·δ = 1. Оценка интеграла ≈ #hits/N ≈ 1/10^6 ≈ 10^{−6} $сбольшойдисперсией,новсреднемправильна$. При увеличении N $илиприменениистратификации/importancesampling$ оценку можно улучшить.

Аналогично в d‑измерном кубе, если функция сосредоточена в очень маленьком объёме $узкая«шаровая»область$, детерминированные регулярные сетки с высокой вероятностью её пропустят, а MC $илиQMCссоответствующейстратегией$ обнаружит.

5) Практические рекомендации

Если задача 1D и f гладкая: используйте составную трапецоидальную/Симпсона/Гаусса правила; для особо гладких periodic f — трапецоид особенно выгоден.Если есть сингулярности: сначала подумайте о преобразовании переменных или адаптивной сетке; если это невозможно или функция лишь интегрируема — используйте MC.Для d крупного $\ge 5$: MC или QMC практически всегда предпочтительнее.Для функций с локальными узкими пиками/индикаторов используйте MC с уменьшением дисперсии $importancesampling,stratification$ или адаптивные детерминированные правила, специально нацеленные на пиковые области.

Если хотите, могу:

привести сравнение количества оценок $nилиN$ для заданной ε при разных d,показать численный пример $код$ иллюстрации случая с узким пиком и сравнения трапеций и MC.