Короткий ответ: вероятность того, что случайный $равномерновыбираемыйнаокружности$ треугольник содержит центр окружности, равна 1/4.

Ниже — несколько способов получить этот результат и обсуждение того, откуда берутся «ошибочные» альтернативные ответы при неосторожных формулировках.

1) Простая «полукружная» $semicircle$ аргументация $интуитивноистрого$

Критерий: треугольник, вписанный в окружность, содержит центр тогда и только тогда, когда три точки НЕ лежат все в одной полукруге $полуокружности$. Действительно, если все три в одной полукруге, то центр вне треугольника; если не все в одной полукруге, то у промежутков между соседними точками по окружности есть максимальный интервал < 180°, и центр оказывается внутри.Теперь оценим вероятность того, что все три точки лежат в некоторой полукруге. Зафиксируем первую точку $можносчитатьвнулепоуглу$. Любая полукруга, начинающаяся в этой точке и длиной 180°, содержит вторую и третью точку с вероятностью $1/2$^2 = 1/4. Таких полукруг, связанных с каждой из трех точек, максимум три, и события «все три лежат в полукруге, начинающейся в i-й точке» взаимоисключающие $нельзяиметьдвенепересекающиесяполукругидлины180°,содержащиевсеточкиодновременно$. Поэтому вероятность того, что существует полукруга, содержащая все три, равна 3*$1/2$^2 = 3/4. Следовательно, вероятность комплементарного события $треугольниксодержитцентр$ = 1 − 3/4 = 1/4.

2) Подход через угловые длины $gap/orderstatistics$

Обозначим отсортированные точки по углу, и пусть промежутки $нормированныенаединицуокружности$ между соседними точками будут X, Y, Z, X+Y+Z = 1, X,Y,Z ≥ 0. Для треугольника центр внутри ⇔ наибольший промежуток < 1/2. Точки $X,Y,Z$ равномерно распределены на единичном симплексе $Dirichlet(1,1,1)$. Вероятность того, что некоторый конкретный промежуток ≥ 1/2 равна $1/2$^2 $требуется,чтобыобаостальных«попали»воставшуюсяполовину$. Так как таких промежутков три и они взаимоисключающие, вероятность что есть промежуток ≥1/2 равна 3*$1/2$^2 = 3/4. Значит требуемая вероятность = 1/4.Можно также вычислить объём области симплекса с max<1/2 напрямую $геометрическиэтопростойотсексимплекса$, результат соответствует 1/4.

3) Подход через симметрию и обобщение

База того же рассуждения: при n точках на окружности вероятность, что все точки лежат в некоторой полукруге, равна n / 2^{n−1} $фиксируемпервуюточку;всеостальныеn-1должныпопастьвполукругдлины1/2,вероятность(1/2{)}^{n-1};такихполукругровноn;событиявзаимоисключающие$. Для n=3 даёт 3/4, комплементарно — 1/4.Этот метод опирается на симметрию и на то, что два разных полукруга длины 1/2, начинающиеся в разных точках, не могут одновременно содержать все точки (объяснение: если два разные полукруга содержат все точки, их объединённая длина >1, что невозможно).

Почему иногда получают другие ответы $иоткудаберутсяошибки$

Ошибка «1/3»: иногда неправильно рассуждают так: «после двух точек третий равновероятно попадёт в одну из трёх дуг, значит вероятность 1/3». Это неверно потому, что дуги между двумя заданными точками имеют разную длину, и третья точка не попадает в них с равной вероятностью; нельзя просто считать три равных исхода.Ошибка двойного счёта/недосчёта: при применении метода «зафиксировать первую точку и умножить на 3» нужно убедиться, что события действительно непересекающиеся $адляполукруговонитаковымиявляются$. При других разбиениях можно ошибочно суммировать вероятности пересекающихся событий.Различные постановки задачи: если выбрать точки не равномерно по углу $например,подлинедугсдругимраспределением$, или выбирать три случайных вершины среди конечного набора точек на окружности, или выбирать точки внутри круга $ненаокружности$, или разрешать совпадения точек, ответы меняются. Поэтому важно чётко: «три точки независимо и равномерно по окружности $поуглу$, без совпадений» — тогда ответ 1/4.Граница/включение границы: случаи, когда точка попадает ровно на границу полукруга $включение/исключение$, имеют нулевую меру и на вероятность не влияют; это техническая деталь, но иногда путают при формулировке «включая границу» — можно не волноваться.

Короткая интуиция

С высокой степенью: у трёх случайных точек вероятность того, что все они сконцентрированы в какой‑то половине круга довольно велика $3/4$, поэтому в оставшихся 1/4 случаев они «раскиданы» достаточно, чтобы окружность их треугольника покрывала центр.

Итог: при стандартной постановке $тринезависимыеточки,равномерныепоокружности$ искомая вероятность равна 1/4.