Контрпример
Возьмём функции f_n:$$0,1$$ → R, f_n$x$ = x^n. Каждая f_n непрерывна на $$0,1$$. Поточечный предел:

для 0 ≤ x < 1: x^n → 0;при x = 1: x^n = 1 → 1.
Итого пределная функция
f$x$ = { 0 при 0 ≤ x < 1; 1 при x = 1 }
— она разрывна в точке x = 1. Значит исходное утверждение неверно.

Короткий комментарий: сходимость здесь не является равномерной $su{p}_{x\in [0,1]}|f_n(x)-f(x)|=1длявсехn$, поэтому непрерывность предела не сохраняется.

Усиления условия, восстанавливающие верность утверждения
1) Равномерная сходимость.
Если f_n непрерывны на $$0,1$$ и f_n → f равномерно на $$0,1$$, то f непрерывна. Доказательство стандартное: для заданного ε>0 выберите N так, что для n≥N выполняется |f_n$x$−f$x$|<ε/3 для всех x; так как f_N непрерывна, выберем δ при котором |x−y|<δ ⇒ |f_N$x$−f_N$y$|<ε/3. Тогда при |x−y|<δ имеем |f$x$−f$y$| ≤ |f$x$−f_N$x$|+|f_N$x$−f_N$y$|+|f_N$y$−f$y$| < ε.

2) Равномерная сходимость на окрестностях точек $локальнаяравномерность$.
Если f_n → f равномерно на каждой окрестности точки x0, то f непрерывна в x0. В частности, если сходимость равномерна на каждом замкнутом подынтервале $$0,1-\delta$$, то f непрерывна на $$0,1).</p><p>3)Равностепеннаянепрерывность(эквиниепрерывность)+поточечнаясходимостьнакомпактe.Еслисемействоf_nэквиниепрерывноипоточечносходитсянакомпактноммножествеK(например,K=[0,1$$), то пределная функция f непрерывна и сходимость происходит равномерно. Идея доказательства: эквиниепрерывность даёт одно δ для всех n; это позволяет сначала показать непрерывность f, затем покрыть компакт конечным числом δ-шаров и получить единый N для равномерности.

$ЭточастныйслучайрезультатовтипатеоремыАрцела–Асколи:эквиниепрерывностьиравномернаяограниченностьобеспечиваютотносительнуюкомпактностьвпространственепрерывныхфункций;всочетанииспоточечнойсходимостьюдаётравномернуюсходимость.$

Дополнительные замечания

Монотонность сходимости по n $например,f_n(x)убываютпоnдлякаждогоx$ сама по себе не гарантирует непрерывности предела $примерx^nтожемонотоненпоnпрификсированномx\in (0,1)$. Dini-теорема даёт, при непрерывности предельной функции и монотонности сходимости на компакте, что сходимость равномерна, но она не утверждает непрерывность предела без дополнительных предпосылок.Для восстановления непрерывности достаточно любой сильнее точки сходимости: равномерная сходимость, локальная равномерность, или дополнительные компактность/эквиниепрерывность условия.