Ниже — общий алгоритм и необходимые анализы для системы Ax = b, где A = A$t$ $ипринеобходимостиb=b(t)$ зависят от параметра t, а также правила и критерии устойчивости решения при малых возмущениях t.

Ключевые теоремы $интуиция$

Для квадратной n×n матрицы A$t$:единственное решение ⇔ det A$t$ ≠ 0;при det A$t$ = 0 ранк A$t$ < n и возможны либо бесконечно много решений, либо ни одного — в зависимости от совместимости с b$t$: сравнивайте rank$A(t)$ и rank$[A(t)|b(t)]$.Если rank A = rank $$A|b$$ = r < n ⇒ множество решений — аффинное пространство размерности n − r $бесконечномногорешений$.Если rank A < rank $$A|b$$ ⇒ несовместная система $нетрешений$.

Алгоритм определения значений t $символический/числовой$ Шаги:
a) Найти функцию Δ$t$ = det A$t$.

Символически $еслиэлементыA(t)—полиномыилирациональныефункции$: вычислить Δ$t$ и разложить/факторизовать; найти корни t_i $возможноскратностью$.Численно: найти приближённые корни Δ$t$ = 0 $например,методомНьютона,полиномиальнымикорнями,сканированиеминтервалов$.

b) Для каждого t0, не являющегося корнем Δ$t$:

det A$t0$ ≠ 0 ⇒ единственное решение x$t0$ = A$t0$^{-1} b$t0$.

c) Для каждого корня t0 $гдеdetA(t0)=0$:

вычислить r = rank A$t0$ и r_aug = rank $$A(t0)|b(t0)$$ $символическичерезминорыиличисленночерезСВД/приведениекступенчатомувиду$.Если r = r_aug < n ⇒ бесконечно много решений. Найти частное решение x_p$t0$ $например,методомгаусса$ и базис ядра N$A(t0)$ — общее решение x = x_p + linear_combination$basis$.Если r < r_aug ⇒ нет решений.

d) Для описания поведения на интервалах t:

Корни Δ$t$ обычно разрывают ось t на интервалы. На каждом интервале детерминант не меняет знак/не становится нулём, поэтому поведение $единственность/нет$ постоянен. Нужно проверить в каждой точке, где Δ$t$=0, ранк и совместимость.

Практические замечания по вычислениям

Если A$t$ и b$t$ полиномиальны или рациональны, предпочтительна символическая обработка $SymPy,Maple,Mathematica$ — даст точные значения t и ранги.В численной ситуации для определения ранга используйте СВД: ранк ≈ число сингулярных значений > ε, где ε = max$m,n$machine_epsσ_max$A$. Это избегает ошибок при близкой к нулю сингулярности.Если det$A$ как функция t очень мала, но не ноль из-за погрешности, применяйте порог относительно нормы матрицы.

Анализ устойчивости решения при малых изменениях t $локальнаячувствительность$

Если для t0 det A$t0$ ≠ 0, то x$t$ = A$t$^{-1} b$t$ непрерывно $идифференцируемо,еслиAиbдифференцируемы$ в окрестности t0. Чувствительность определяется обусловленностью A:определите условное число κ$A$ = ||A|| · ||A^{-1}|| $ввыбраннойнор­ме;часто2‑нормаичерезСВД:\kappa ={\sigma }_{m}ax/{\sigma }_{m}in$.первый порядок приближённо: при малых ΔA, Δb изменение Δx отвечает $приближённо$ Δx ≈ A^{-1} $\Delta b-\Delta Ax$,
и оценка нормы:
||Δx|| ≤ ||A^{-1}|| $||\Delta b||+||\Delta A||\cdot ||x||$.относительная оценка $еслиb\ne 0$:
||Δx||/||x|| ≲ κ$A$ $||\Delta A||/||A||+||\Delta b||/||b||$.Следствие: если σ_min$A(t0)$ $минимальноесингулярноезначение$ мало, κ велико ⇒ решение очень чувствительно к малым изменениям t или шума в b. При σ_min → 0 малая возмущение может привести к большим изменениям x.

Если t0 — корень det A$t$ = 0 $матрицасингулярна$:

при rank A = rank $$A|b$$ < n: множество решений; решение не уникально, малые отклонения t могут:либо разорвать сингулярность $восстановитьуникальность$ → решение может резко измениться, поскольку из бесконечного множества при малом смещении обычно остаётся одно «обычное» решение;либо сделать систему несовместной $еслиbизменяется$ ⇒ перейти к отсутствию решений. То есть поведение при возмущении, в общем случае, нестабильно.при rank A < rank $$A|b$$: система несовместна; малые изменения t или b могут либо сохранить несовместность, либо $вредкихслучаях$ сделать систему совместной.

Если b зависит от t: нужно учитывать Δb/Δt в анализе чувствительности — формулы выше работают с соответствующими Δb.

Рекомендации и диагностические шаги на практике

Вычислите Δ$t$ и найдите его корни; разделите ось t на интервалы между корнями.На репрезентативных точках каждого интервала проверьте det A ≠ 0 $илииспользуйтеСВД$ — там будет уникальное решение.Для каждого корня t0 исследуйте ранк A$t0$ и ранк $$A(t0)|b(t0)$$ $черезСВДилиминорысимволически$.Оцените σ_min$A(t)$ и κ$A(t)$ на интересующих t: если κ >> 1, решения чувствительны — ожидайте большие изменения при малых Δt.При численных расчетах используйте SVD для устойчивого определения ранга и для решения вблизи сингулярности $наилучшеевсмысленаименьшейнормычастногорешения,еслиискатьчастноерешениепринесовместности—методнаименьшихквадратов$.

Краткая схемa в псевдокоде

Вход: A$t$, b$t$, диапазон t.Вычислить Δ$t$ = det A$t$.Найти корни {t_i} решения Δ$t$=0.Для каждо́й открытой интервала между t_i: взять t_sample, если |det A$t_{s}ample$| > tol:
— решение уникально на этом интервале.Для каждо́го t0 ∈ {t_i}:
— вычислить r = rank$A(t0)$, r_aug = rank$[A(t0)|b(t0)]$.
— если r = r_aug < n: бесконечно много решений; найти базис ядра и частное решение.
— если r < r_aug: нет решений.Для устойчивости: вычислить сингулярные значения σ_min$t$ и κ$t$ = σ_max/σ_min; если κ$t$ велико, отметить высокую чувствительность.

Примечания о кратности корней и о «сильной»/«слабой» сингулярности

Если Δ$t$ имеет кратный корень в t0 $меньшиепроизводныетоженулевые$, то матрица «долго» остаётся близкой к сингулярной вдоль небольшого диапазона t, и чувствительность особенно велика.Для детального анализа в окрестности t0 можно разложить A$t$ по t и провести локальный анализ $рекомендуюиспользоватьтеориювозмущенийдлясобственныхзначенийилисингулярныхразложений$.

Если хотите, могу:

показать конкретный пример с маленькой матрицей $n=2или3$ и продемонстрировать алгоритм шаг за шагом;дать код $NumPy/SciPyилиSymPy$ для автоматизации поиска t, рангов и оценки обусловленности.