Придуманная задача $вкоторой«прямое»применениеAM–GMможетввестивзаблуждение,еслинеуказатьдополнительныеусловия$

Задача. Пусть a, b, c — числа такие, что a + b + c = 3. Докажите, что abc ≤ 1.

Почему так записанная задача подвохна. Многие сразу захотят применить неравенство AM–GM:
$a+b+c$/3 ≥ $abc$^{1/3} ⇒ abc ≤ 1.
Но формула AM–GM в классическом виде справедлива только для неотрицательных чисел a, b, c. Если a, b, c — произвольные действительные числа, выражение $abc$^{1/3} в реальной интерпретации может быть отрицательным $принечётнойкорнеможновзятьиотрицательноезначение$, и главное — прямое применение AM–GM без условия a,b,c ≥ 0 некорректно. Более того, утверждение abc ≤ 1 вообще ложно для произвольных действительных a,b,c с суммой 3.

Контрпример $показывающий,чтобезпредположенияa,b,c\ge 0утверждениеневерно$. Возьмём a = −1, b = −1, c = 5. Тогда a + b + c = 3, а abc = $-1$$-1$·5 = 5 > 1. Значит утверждение abc ≤ 1 для всех действительных a,b,c с суммой 3 — неверно.

Ещё сильнее: без условия a,b,c ≥ 0 верхняя грань для abc не существует: возьмём b = c = −t (t > 0), тогда a = 3 + 2t и
abc = $3+2t$·t^2 → +∞ при t → +∞.
Следовательно, чтобы получить ограничение вида abc ≤ 1, необходимо наложить дополнительные условия.

Правильная формулировка и решение с помощью AM–GM. Если в условии дополнительно требовать a, b, c ≥ 0 $тоестьa,b,c—неотрицательные$, то утверждение верно:

Если a, b, c ≥ 0 и a + b + c = 3, то по AM–GM
$a+b+c$/3 ≥ $abc$^{1/3},
откуда 1 = $3/3$^3 ≥ abc, т.е. abc ≤ 1.
Равенство достигается при a = b = c = 1.

Почему требуется условие неотрицательности. AM–GM $вформесреднееарифметическое\ge среднеегеометрическое$ доказывается, например, через неравенство $x-y$^2 ≥ 0 и шаги, в которых берётся корень степени n от произведения — всё это имеет смысл в реальных числах только при неотрицательных сомножителях. При отрицательных множителях выражение «геометрическое среднее» требует дополнительной оговорки $длячётнойстепенивообщенеопределеновдействительныхчислах$, и исходная техника доказательства не работает. Кроме того, как показано, без неотрицательности сам факт ограничения может оказаться ложным.

Короткое резюме

Нельзя применять AM–GM к произвольным действительным числам: требуется a_i ≥ 0.В приведённой задаче условие a,b,c ≥ 0 — необходимое дополнительное требование для корректного применения AM–GM и для истинности утверждения abc ≤ 1.Без этого требования контрпример $a,b,c$ = $-1,-1,5$ показывает ложность утверждения; более того, abc неограниченно сверху при фиксированной сумме 3 и произвольных действительных значениях.