Классический способ — признак Лейбница $Leibnizcriterion$.

Условие: a_n = $-1$^{n−1} b_n, где b_n > 0, b_n монотонно убывает и bn → 0 при n → ∞.
Требуется доказать, что ∑{n=1}^∞ a_n сходится.

Доказательство $стандартное$:

Пусть SN = ∑{n=1}^N an — частичные суммы. Рассмотрим чётные и нечётные частичные суммы
S{2m} = b_1 − b_2 + b_3 − b4 + … + b{2m−1} − b{2m},
S{2m+1} = S{2m} + b{2m+1}.Так как bk убывают, каждое слагаемое вида $b</em>2k-1-b<em>2k$ ≥ 0, поэтому последовательность {S{2m}} монотонно неубывающая.Кроме того, для всех m имеем S_{2m} ≤ b_1 $напервыхшагахвидно,чтосуммачередующихсяразностейнепревышаетb<em>1$, значит {S{2m}} ограничена сверху и, следовательно, сходится к некоторому пределу S.Последовательность {S{2m+1}} = {S{2m} + b{2m+1}} тогда монотонно невозрастающая и ограничена снизу (в частности, >= S − lim b{2m+1}), а разность S{2m+1} − S{2m} = b_{2m+1} → 0. Отсюда пределы чётных и нечётных подпоследовательностей совпадают, значит S_N → S при N → ∞, т.е. ряд сходится.

Заметки и тонкости:

Условие монотонности можно ослабить: достаточно, чтобы b_n убывали начиная с некоторого N $eventualmonotonicity$. Полная монотонность на всех n удобна для доказательства, но не всегда обязательна.Моноснижение b_n и требование b_n → 0 — оба важны: b_n → 0 необходимо $иначечленынеобращаютсяв0ирядрасходится$. Монотонность — достаточное условие для простого доказательства; при её отсутствии ряд всё ещё может сходиться, но нужно применять другие тесты $например,преобразованиеАбеля,критерийДирихлеит.д.$.Абсолютная сходимость: если ∑ b_n сходится, то ряд ∑ a_n сходится абсолютно и перестановки членов ни на что не влияют. Но часто при чередующемся ряде ∑ b_n расходится — тогда имеем условную сходимость.

Перестановки и условная сходимость:

Для абсолютно сходящихся рядов любая перестановка сохраняет сумму.Для условно сходящихся рядов $когда\sum a_nсходится,но\sum |a_n|расходится$ возможны неожиданные эффекты: по теореме Римана о перестановках, для любого заданного числа L ∈ R существует перестановка членов условно сходящегося числового ряда, дающая сумму L; более того, можно получить расходимость $частичныесуммынеограниченны$ при подходящей перестановке. Иными словами, при условной сходимости порядок членов критически важен.Интуитивно это объясняется тем, что суммы положительных и отрицательных членов по отдельности расходятcя $к+\infty и-\infty$, и их «чередование» задаёт конечный предел; изменяя порядок, можно менять баланс накопления положительных и отрицательных вкладов.

Пример, где абсолютная сходимость не выполняется:

Чередующийся гармонический ряд:
∑_{n=1}^∞ $-1$^{n−1} $1/n$ = 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + … = ln 2.
Этот ряд сходится по признаку Лейбница $b_n=1/nубываетк0$. Но ∑ |a_n| = ∑ 1/n — гармонический ряд — расходится. Следовательно, сходимость условная. По теореме Римана, перестановки членов этого ряда могут давать любой заданный суммарный результат или приводить к расходимости.

Краткое резюме:

Чтобы доказать сходимость ряда с a_n = $-1$^{n−1} b_n, достаточно применить признак Лейбница $монотонностьb_nиb_n\to 0$.При отсутствии абсолютной сходимости нужно быть осторожным с перестановками: порядок может изменять сумму или вызвать расходимость $Римановатеорема$. Пример условной сходимости: чередующийся гармонический ряд.