1) Два многочлена степеней m и n $графикиy=p(x)иy=q(x)$

Пересечения графиков соответствуют решениям уравнения p$x$ = q$x$, т.е. нулям r$x$ = p$x$ − q$x$. Поскольку r$x$ — многочлен степени не выше max$m,n$, он может иметь не более max$m,n$ различных действительных корней. Следовательно:

максимально возможное число точек пересечения в действительной плоскости равно max$m,n$ $присоответствующемвыборекоэффициентов,чтобыстепеньrбыларовноmax(m,n)икорнибылидействительнымиипростыми$;

Дополнение $алгебраическаяточказрения$: если смотреть в комплексной проективной плоскости и учитывать кратности, то по теореме Бе́зу два алгебраических кривых степеней m и n пересекаются в m·n точках $считаемыхскратностямиивтомчисленабесконечноудалённойпрямой$. Для графиков y−p$x$=0 и y−q$x$=0 это равенство m·n достигается за счёт пересечений на бесконечности и кратных пересечений; но в аффинной действительной плоскости число реальных пересечений ограничено max$m,n$.

2) Если один из «многочленов» заменить тригонометрической функцией sin$kx$

Теперь уравнение становится p$x$ = sin$kx$. Здесь появляются новые особенности:

Если p$x$ — константа c, то при c ∈ $$-1,1$$ уравнение c = sin$kx$ имеет бесконечно много решений $периодичностьsin$. Значит уже для m = 0 возможны бесконечно много пересечений.

Если deg p = m ≥ 1, то p$x$ → ±∞ при |x| → ∞, поэтому множество x с |p$x$| ≤ 1 — ограничено. На этой ограниченной области sin$kx$ совершает примерно O$k$ колебаний, так что число пересечений p$x$ = sin$kx$ всегда конечно, но может расти при увеличении частоты k. Интуитивная оценка: на отрезке длины L функция sin$kx$ имеет порядка ~2kL/π пересечений с любым медленно меняющимся уровнем, поэтому при фиксированном p число пересечений можно сделать сколь угодно большим, увеличивая k.

Итого:

для m ≥ 1 при фиксированном k число пересечений конечно и зависит от p и k;при растущем k число пересечений для фиксированного p может расти неограниченно $линейнопоkвпервомприближении$;для m = 0 $постоянныймногочлен$ при подходящем значении постоянной — бесконечно много пересечений.

3) Если sin$kxаппроксимироватьмногочленом</p><p>ПотеоремеВейерштрассаналюбомкомпактномотрезке[a,b]можноприближатьsin(kx)скольугоднохорошомногочленами.ПустьS_N(x)—полиномстепениN,приближающийsin(kx)на[a,b]смалойпогрешностью\epsilon .</p><ul><li><p>Пересеченияp(x)=S_N(x)ограниченычислом\le max(m,N)(см.пункт1).Значитаппроксимацияпревращаетзадачувалгебраическую,ичислопересеченийнепревыситmax(m,N).</p></li><li><p>Новажно:аппроксимациянаконечномотрезкенегарантируетсоответствиякорнейнавсейоси.ЕслиинтересуютпересечениявовсейR,тополиномиальнаяаппроксимацияsin(kx)наRневозможна(sinнеприближаетсяравномернополиномаминавсейR),поэтомупереводзадачивалгебраическуютеряетсмыслглобально.</p></li><li><p>Крометого,корнинеустойчивыотносительномалыхвозмущений:дажеоченьмалоеравномерноеотклонениефункцииможетпородить/устранитьпарыблизкихкорней.Поэтомучислопересеченийp(x)=S_N(x)можетотличатьсяотчислапересеченийp(x)=sin(kx),дажеприоченьмалом\epsilon ,есликорниблизкорасположены.</p></li></ul><p>4$ Ключевые тонкости при переходе от алгебраических к тригонометрическим кривым

Трансцендентность vs алгебраичность: sin$kx$ — трансцендентная $целая,периодическая$ функция; теоремы о степени и ограничении числа пересечений $какmax(m,n)$ не применимы. Вместо простого счёта степеней нужно учитывать периодичность и частоту.

Переход в комплексную область: для многочленов есть конечность корней в C и теорема Бе́зу; для целых трансцендентных функций поведеник на бесконечности и распределение корней другое $возможныбесконечныемножествакорней,регулярнаяпериодичностьит.д.$.

Аппроксимация: на компакте можно приближать тригонометрическую функцию многочленом, но глобально — нет. Приближение может менять топологию множества корней $т.е.количествопересечений$, особенно когда корни близко расположены.

Мультикратные и касательные пересечения: при алгебраических кривых кратности корней учитываются $Безу$; с sin$kx$ возможны касательные пересечения $p(x)=sin(kx)иp^{\prime }(x)=kcos(kx)$, которые в приближении легко распались на два простых и т.д.

Короткие рекомендации/выводы:

Для двух многочленов: максимум real-пересечений = max$m,n$ $авпроективнойкомплекснойплоскостискратностями—m\cdot n$.Если одну кривую заменить на sin$kx$: при deg p ≥ 1 число пересечений конечно, но может быть большим и расти с k; при deg p = 0 возможно бесконечно много пересечений.Аппроксимация sin$kx$ многочленом на ограниченном отрезке даёт алгебраический верхний предел max$m,N$, но это локальное и потенциально вводит артефакты $спuriousroots$; нельзя глобально заменить sin$kx$ полиномом без потери свойств.

Если хотите, могу показать конструктивный пример, где для фиксированного полинома p$x$ число пересечений с sin$kx$ растёт при увеличении k, и/или иллюстрацию, как полиномиальная аппроксимация может создать дополнительные или убрать реальные корни.