Приведен следующий «доказательство»: для любого натурального n сумма первых n нечетных чисел равна n^2, следовательно, разность между квадратами k^2 и (k-1)^2 всегда нечетна. Найдите неточности в формулировке и укажите, какие дополнительные объяснения нужны, чтобы рассуждение было строгим
Приведен следующий «доказательство»: для любого натурального n сумма первых n нечетных чисел равна n^2, следовательно, разность между квадратами k^2 и (k-1)^2 всегда нечетна. Найдите неточности в формулировке и укажите, какие дополнительные объяснения нужны, чтобы рассуждение было строгим
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Ниже — что в данном «доказательстве» неясно или неточно, и какие дополнительные шаги нужны, чтобы рассуждение было строгим.
1) Неясность с множествами/индексацией
Что вы понимаете под «натуральными» числами? Внекоторыхопределениях0включается,внекоторых—нет.В некоторых определениях 0 включается, в некоторых — нет.Внекоторыхопределениях0включается,внекоторых—нет. Надо явно оговорить: обычно берём n ∈ N, n ≥ 1 илиотдельноуказатьслучайn=0или отдельно указать случай n = 0илиотдельноуказатьслучайn=0.Что значит «первые n нечётных чисел» — последовательность 1, 3, 5, …, 2n−1. Это нужно явно записать.2) Не доказана формула «сумма первых n нечётных = n^2»
Формула должна быть доказана иначеэтогипотезаиначе это гипотезаиначеэтогипотеза. Достаточно одного из стандартных доказательств:Алгебраически:
sum_{i=1}^n 2i−12i−12i−1 = 2·1+…+n1+…+n1+…+n − n = 2·n(n+1)/2n(n+1)/2n(n+1)/2 − n = nn+1n+1n+1 − n = n^2.Или индукцией: для n=1 верно; если sum_{i=1}^n 2i−12i−12i−1=n^2, то добавление следующего нечётного 2n+1n+1n+1−1 даёт n2n^2n2+2n+12n+12n+1=n+1n+1n+1^2.Или геометрически квадратизслоёвнечётныхчиселквадрат из слоёв нечётных чиселквадратизслоёвнечётныхчисел.
3) Неточность в переходе «следовательно разность между k^2 и k−1k−1k−1^2 всегда нечётна»
Сам по себе «следовательно» подразумевает, что показано, что k^2 − k−1k−1k−1^2 равна некоторому нечётному члену последовательности. Нужно объяснить явную связь:Если k^2 = sum{i=1}^k 2i−12i−12i−1 и k−1k−1k−1^2 = sum{i=1}^{k−1} 2i−12i−12i−1, то
k^2 − k−1k−1k−1^2 = sum<em>i=1k(2i−1)sum<em>{i=1}^k (2i−1)sum<em>i=1k(2i−1) − sum</em>i=1k−1(2i−1)sum</em>{i=1}^{k−1} (2i−1)sum</em>i=1k−1(2i−1) = 2k−1,
то есть разность равна k-му нечётному числу 2k−1.Альтернативно, можно просто алгебраически разложить:
k^2 − k−1k−1k−1^2 = k−(k−1)k − (k−1)k−(k−1)k+(k−1)k + (k−1)k+(k−1) = 1·2k−12k−12k−1 = 2k−1.
Оба объяснения нужно явно привести.
4) Нужно объяснить, почему 2k−1 нечётно
Надо дать определение нечётного числа например,целоечиславида2m+1например, целое числа вида 2m+1например,целоечиславида2m+1 и показать, что при целочисленном k число 2k−1 имеет вид 2m+1 сm=k−1с m = k−1сm=k−1, значит нечётно. Или: 2k — чётно, вычитание 1 делает число нечётным.5) Избежать круговой аргументации
Нельзя использовать тот же факт например,формулудляразностиквадратовнапример, формулу для разности квадратовнапример,формулудляразностиквадратов, который вы якобы выводите из суммы нечётных, как доказательство самой формулы суммы. Порядок доказательства должен быть: либо докажите формулу суммы и затем вычтите k−1k−1k−1-ю сумму, либо докажите разность квадратов напрямую алгеброй.Короткая строгая версия заключения
Для всех целых k ≥ 1 имеем k^2 − k−1k−1k−1^2 = 2k − 1. Числа вида 2k − 1 при целых k имеют вид 2m+1 сm=k−1с m = k−1сm=k−1, следовательно нечётны. Следовательно разность последовательных квадратов всегда нечётна. При этом предварительно нужно либо доказать формулу sum_{i=1}^n 2i−12i−12i−1 = n^2, либо дать прямое алгебраическое вычисление разности k^2 − k−1k−1k−1^2.Если хотите, могу записать полное строгое доказательство в одном изложении индукциядлясуммыивыводпроразностьиндукция для суммы и вывод про разностьиндукциядлясуммыивыводпроразность, с учётом вариантов определения N.