Ниже — исследование целочисленной уравнения
x^2 + y^2 = z^2 + t^2,
параметризация общих решений, классификация представлений целого числа как суммы двух квадратов и примеры нетривиальных тождеств, дающих целые решения.

1) Идея через гауссовы числа
Рассмотрим комплексные целые a + ib $Gaussianintegers$. Норма N$a+ib$ = a^2 + b^2. Уравнение x^2 + y^2 = z^2 + t^2 равносильно равенству норм двух гауссовых чисел:
N$x+iy$ = N$z+it$.
Используя умножение в Z$$i$$ и его мультипликативность норм, получаем классическое тождество $Брахмагупта—Фибоначчи$:

Для любых целых a,b,c,d справедливо
$ac+bd$^2 + $ad-bc$^2 = $ac-bd$^2 + $ad+bc$^2 = $a^2+b^2$$c^2+d^2$. $1$

Это тождество даёт семейство целых решений уравнения: положим
x = ac + bd,
y = ad - bc,
z = ad + bc,
t = ac - bd.
Тогда x^2 + y^2 = z^2 + t^2 = $a^2+b^2$$c^2+d^2$.

2) Это почти «общая» параметризация
Если заданы целые x,y,z,t и положим A = x + iy, B = z + it, то N$A$ = N$B$. В UFD Z$$i$$ можно разложить A и B $возможнособщиммножителем$. Благодаря единственности разложения в Z$$i$$ $доассоциатовисопряжения$ можно показать, что любая пара A,B с одной и той же норм получается $витоге$ так: существует гауссово α = a+ib и β = c+id такие, что $сучётомединицисопряжений$ A = α·β, B = α·conj$\beta$ или вариации с перестановкой и умножением на единицы $\pm 1,\pm i$. Отсюда формула $1$ описывает все решения вплоть до тривиальных симметрий $знаков,порядкакомпонент,умножениянаединицывZ[i]$. Иначе говоря, все представления одного и того же n в виде суммы двух квадратов связаны разложением n в Z$$i$$ и переводятся к тождеству $1$.

3) Классификация чисел, представимых как сумма двух квадратов
Классический критерий $черезразложениенапростые$:

Натуральное n представимо в виде n = x^2 + y^2 для целых x,y тогда и только тогда, когда в разложении n на простые простые p ≡ 3 $mod4$ входят c чётными показателями. То есть в факторизации n = 2^e \prod p_i^{\alpha_i} \prod q_j^{\beta_j}, где p_i ≡ 1 $mod4$, q_j ≡ 3 $mod4$, все β_j чётны.Количество представлений $сучётомпорядкаизнаков$ задаётся формулой
r_2$n$ = 4 $d1(n)-d3(n)$,
где d1$n$ — число делителей n, которые ≡ 1 $mod4$, а d3$n$ — число делителей ≡ 3 $mod4$. $Привыводеэтойформулыиспользуетсяразложениенагауссовыпростые.$

Примеры и следствия:

Простое p ≡ 1 $mod4$ имеет представление p = a^2 + b^2, единственное с точностью до порядка и знаков.Простое p ≡ 3 $mod4$ не представимо вообще.Если n имеет более чем одно представление как сумма двух квадратов, то эти представления взаимосвязаны через разложение n в Z$$i$$ и формулы типа $1$.

4) Примеры нетривиальных тождеств и конкретные решения

Тождество $1$ само по себе — главный источник. Несколько конкретных примеров:

a=1,b=2,c=3,d=4 даёт
$ac+bd,ad-bc,ad+bc,ac-bd$ = $11,-2,10,-5$,
т.е. 11^2 + $-2$^2 = 121 + 4 = 125 = 10^2 + $-5$^2.a=1,b=2,c=2,d=1 даёт
$4,-3,5,0$ → 4^2 + 3^2 = 5^2 $получаемпифагоровотр\acute{о}йку$.a=1,b=k,c=k,d=1 даёт семейство
$2k,1-k^2,1+k^2,0$ и равенство $2k$^2 + $1-k^2$^2 = $1+k^2$^2.Для $a,b,c,d$ = $1,1,2,3$:
x = 1·2 + 1·3 = 5, y = 1·3 - 1·2 = 1, z = 1·3 + 1·2 = 5, t = 1·2 - 1·3 = -1,
тут получается тривиальная перестановка $5,1$ и $5,-1$ — показывает симметрии.

Бесконечные нетривиальные семейства: взять любые непостоянные целые a,b,c,d — получаем бесконечно много решений. Можно получить и пары с четырьмя различными положительными числами, выбрав a,b,c,d так, чтобы все четыре выражения отличались по абсолютной величине.

5) Краткое резюме и замечания

Формула $1$ — центральный инструмент: она даёт явные целые решения и отражает мультипликативность представлений суммы двух квадратов.Критерий через простые p ≡ 3 $mod4$ даёт условие существования представления n = x^2 + y^2; число представлений вычисляется через делители n по модулю 4.Любое равенство x^2 + y^2 = z^2 + t^2 $вцелых$ описывается через разложения в Z$$i$$ и, в сущности, сводится $сучётомединицисопряжений$ к тождеству $a^2+b^2$$c^2+d^2$ = $ac\pm bd$^2 + $ad\mp bc$^2.

Если хотите, могу:

Привести доказательство формулы r_2$n$ = 4$d1(n)-d3(n)$,Показать явные примеры с малыми n, у которых несколько различных представлений $например,n=50,65,125ит.п.$,Построить примеры с дополнительными условиями $всепеременныеположительны,попарноразличныеит.д.$.