Дадим однозначные обозначения и разберём классический «двусмысленный» случай SSA (в русск. литературе он же «случай стороны–стороны–угла»).

Обозначения. Пусть требуется построить треугольник ABC. Пусть угол при вершине A равен α (0 < α < π). Стороны обозначим по стандарту: a = BC (противолежащая углу A), b = AC (смежная с углом A), c = AB. Даны: угол α у вершины A и численные длины a и b (и нам, при желании, можно считать заданным положение точки A и направление стороны AC — см. конструкцию). Требуется найти все возможные треугольники с этими данными.

Важная конструктивная величина — высота h из вершины на сторону, соответствующая положению:
h = b · sin α.
Геометрический смысл: если в точке A положить луч, образующий угол α с лучом AC, то для существования вершины B с BC = a необходимо, чтобы круг радиуса a с центром в C пересёк этот луч; минимальное расстояние от C до этого луча равно h.

Анализ через уравнение. Если положить A в начало координат, AC вдоль оси Ox, тогда C = (b,0), луч AB задаётся направлением α и точка B на нём имеет вид B = (t cos α, t sin α), t>0. Условие |BC| = a даёт квадратное уравнение по t:
t^2 − 2b cosα · t + (b^2 − a^2) = 0.
Дискриминант
Δ = 4(a^2 − b^2 sin^2 α) = 4(a^2 − h^2).
Из числа и знака корней и их положительности получаем все варианты.

Критерии и геометрические случаи

1) Тривиальные запреты

Если α ≤ 0 или α ≥ π, треугольника нет.Если a ≤ 0 или b ≤ 0 — нет смысла.

2) Если a < h (то есть a < b sin α)

Δ < 0 → нет действительных корней → круг радиуса a с центром в C не достигает луча AB → треугольника не существует.

3) Если a = h

Δ = 0 → единственный корень t = b cos α.Если cos α > 0 (α < π/2), то t > 0 → существует ровно один (правый) треугольник: высота из B на AC равна a. Геометрически это прямой треугольник (∠B = 90°).Если cos α ≤ 0 (α ≥ π/2), тогда t ≤ 0 → решение лежит «за» A на продолжении луча, поэтому действительной конструкции с t>0 нет → треугольника нет.

4) Если a > h (Δ > 0)
Реально могут быть два, одна или ноль положительных корней; рассмотрим по величине α.

a) α острый (0 < α < π/2, cos α > 0)

Если h < a < b (то есть b sin α < a < b) → оба корня положительны → два разных положительных t → два разных положения точки B → два различных треугольника (двусмысленность SSA).Если a = b → меньший корень равен нулю (t_min = 0), больший положителен → единственный допустимый треугольник (второй «решения» даёт B = A, что не считается).Если a > b → только один положительный корень → единственный треугольник.

b) α прямой (α = π/2, cos α = 0, sin α = 1)

Уравнение даёт t^2 + b^2 − a^2 = 0 ⇒ t = ±√(a^2 − b^2). Положительное t существует только при a > b (один треугольник). Если a = b — формально t = 0 (непригодно), если a < b — нет треугольника.

c) α тупой (π/2 < α < π, cos α < 0)

Здесь меньший корень отрицателен; больший корень положителен лишь в случае a > b (и, конечно, a > h). Итого:
Если a > b (и, следовательно, a > h) — ровно один треугольник.Если a ≤ b — нет треугольника.

Краткая сводка (часто встречающаяся формулировка)

a < b sin α → нет треугольника.a = b sin α → один треугольник (прямой), но только если α < 90°.b sin α < a < b и α < 90° → два треугольника.a ≥ b и α < 90° → один треугольник.α ≥ 90°: возможен не более одного треугольника; он существует только при a > b (и тогда автоматически a > h).

Построение (алгоритм)
Предпочтительная практическая схема (геометрическая):

Зафиксируйте точку A и луч, который будет направлением AC. На нём отложите точку C так, чтобы AC = b.Через точку A проведите луч, составляющий с AC угол α — это потенциальное направление AB.Постройте окружность с центром в C радиусом a.Точки пересечения окружности и луча AB дают возможные положения точки B. Количество пересечений может быть 0, 1 или 2 и соответствует описанным случаям.Соедините найденные точки B с A и C — получаете все возможные треугольники.

Аналитический вариант (при необходимости): решить квадратное уравнение по параметру t (расстояние от A до B вдоль луча AB), взять все положительные корни и построить соответствующие точки B.

Замечания и крайние случаи

Случай a = 0 или b = 0 тривиален (нет треугольника).Если одна из получившихся точек совпадает с A (t = 0), это не допустимое треугольник-решение.В случае двух решений они различаются тем, что в одном варианте угол при B острый, в другом — тупой (для α острых случаев).

Если нужно, могу:

привести схему построения в виде пошаговых чертежей (словом или координатно),разобрать конкретный числовой пример с вычислением h, дискриминанта и корней t,или привести доказательство достаточности/необходимости приведённых неравенств.