Решим уравнение
sqrt(x − 1) = x − 3.

1) Область определения. Подкоренное должно быть неотрицательно, значит x − 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1. Кроме того, выражение sqrt(x − 1) неотрицательно, значит правая часть должна быть ≥ 0: x − 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3. Итак все допустимые x должны удовлетворять x ≥ 3. (Это важный момент перед возведением в квадрат.)

2) Изолировали радикал (он уже изолирован) и, так как на допустимой области правая часть неотрицательна, можно возвести обе части в квадрат без потери информации:
x − 1 = (x − 3)^2 = x^2 − 6x + 9.

3) Переносим всё в левую часть:
0 = x^2 − 6x + 9 − x + 1 = x^2 − 7x + 10 = (x − 5)(x − 2).

Отсюда кандидаты: x = 5 и x = 2.

4) Проверяем по области определения и по исходному уравнению. По условию x ≥ 3, поэтому x = 2 исключается сразу (к тому же при x = 2 правая часть x − 3 = −1 < 0, а корень не может быть отрицательным — это и даёт «посторонний» корень). Для x = 5: sqrt(5 − 1) = 2, справа 5 − 3 = 2, подходит.

Ответ: x = 5.

Комментарий по допустимым и недопустимым шагам:

Допустимо: изолировать радикал и возвести обе части в квадрат, но перед этим нужно учитывать ограничения (знак правой части) или обязательно проверять найденные корни в исходном уравнении.Потенциально вводят посторонние корни: возведение в квадрат неэквивалентно преобразованию (оно может превратить равенство a = b в a^2 = b^2, что допускает b = −a). Поэтому всегда проверяйте решения исходного уравнения и соблюдайте область определения.Альтернативы: подстановка y = sqrt(x−1) ≥ 0, графический анализ или исследование функции f(x)=sqrt(x−1)−(x−3) на отрезке [3,∞) — все они дают тот же результат и избегают ошибок при проверке области.