Последовательность a_n = n·sin(1/n). Найдём её предел при n → ∞.

1) Быстрая замена через известный предел.
Положим x_n = 1/n. Тогда x_n → 0 при n → ∞, и
a_n = n·sin(1/n) = sin(x_n)/xn.
Из известного предела lim{x→0} (sin x)/x = 1 следует по подстановке x = xn, что lim{n→∞} a_n = 1.

2) Через теорему о сжатой (строгое неравенство).
Для 0 < x ≤ π/2 справедливо cos x ≤ (sin x)/x ≤ 1. Для достаточно больших n имеем 0 < 1/n ≤ π/2, значит
cos(1/n) ≤ n·sin(1/n) ≤ 1.
При n → ∞ cos(1/n) → 1, поэтому по теореме о сжатой lim_{n→∞} n·sin(1/n) = 1.

3) Через разложение в ряд (асимптотика).
sin x = x − x^3/6 + o(x^3) при x → 0. Подставим x = 1/n:
a_n = n·(1/n − 1/(6n^3) + o(1/n^3)) = 1 − 1/(6n^2) + o(1/n^2) → 1.

Вывод: предел a_n равен 1.

Почему нельзя просто «подставить 1/n → 0» и получить 0?
Факт sin(1/n) → 0 не даёт вывод о произведении n·sin(1/n), потому что имеем неопределённость вида ∞·0. Нельзя заранее заменить 1/n на 0 до учета множителя n: хотя sin(1/n) близко к 0, скорость её стремления к 0 важна (здесь ~1/n), и умножение на n даёт конечный ненулевой предел.

Почему недопустимы «умножение/деление на ноль»:

Деление на ноль в вычислениях запрещено: выражение вида sin0/0 не определено. В корректном подходе для каждого конечного n вы делите на 1/n ≠ 0 (т.е. a_n = sin(1/n)/(1/n) корректно), но нельзя подставлять предельные значения в знаменатель, если в результате получится деление на 0.Нельзя также принимать предел произведения, заменяя один множитель на его предел, если другой множитель при этом не остаётся фиксированным: закон о пределе произведения требует, чтобы пределы каждого множителя существовали (в частности, чтобы не было ∞·0 без дополнительного анализа).

Итого: lim_{n→∞} n·sin(1/n) = 1.