Коротко — математически два события A и B независимы тогда и только тогда, когда P(A ∩ B) = P(A)P(B). Но важно помнить: одинаковое значение произведения и совместной вероятности может появиться «случайно» на уровне маргиналей, хотя внутри подгрупп (при условии на другие факторы) события сильно зависимы. Приведу наглядный пример и затем примеры с выбором с и без возвращения и практические советы, как отличать истинную независимость от случайного совпадения.

1) Пример — маргинальная (внешняя) независимость при условной зависимости
Представим две «деревни» G1 и G2, каждая с вероятностью 0.5 (мы сначала выбираем деревню равновероятно, затем случайного жителя).

В G1 у каждого жителя либо одновременно выполняются события A и B, либо ни одно из них: P(A=1,B=1 | G1)=0.5, P(0,0 | G1)=0.5.В G2 события A и B никогда не совпадают: P(A=1,B=0 | G2)=0.5, P(A=0,B=1 | G2)=0.5.

Тогда на глобальном уровне
P(A) = 0.5·0.5 + 0.5·0.5 = 0.5,
P(B) = 0.5,
P(A ∩ B) = 0.5·0.5 + 0.5·0 = 0.25 = P(A)P(B).

Итого маргинально P(A ∩ B) = P(A)P(B) — кажется, что A и B независимы. Но внутри каждой деревни зависимости сильные: в G1 A и B полностью положительно связаны, в G2 — взаимно исключающие. То есть равенство получилось «случайно» на объединённой выборке; зависимость присутствует при условии на переменную (деревню).

Вывод: маргинальная независимость (P(A ∩ B) = P(A)P(B)) не исключает наличия условной зависимости через скрытую переменную (confounder).

2) Примеры с выбором с и без возвращения (наглядные расчёты)

a) С возвращением (независимые испытания)
Урна с 5 красными и 5 чёрными шарами. Дважды вытаскиваем по одному шару, каждый раз возвращая шар и перемешивая.
P(first red) = 5/10 = 0.5, P(second red) = 0.5,
P(оба красные) = 0.5·0.5 = 0.25.
Здесь очевидная независимость: возвращение гарантирует, что второе испытание не зависит от первого.

b) Без возвращения (зависимые испытания)
Та же урна, но без возвращения.
P(first red) = 0.5.
P(second red | first red) = 4/9.
Поэтому P(оба красные) = 0.5 · 4/9 ≈ 0.222..., что не равно 0.25 = P(first red)P(second red). Здесь зависимость интуитивна: результат первого вытягивания меняет состав урны.

3) Как практически отличать независимость от случайного совпадения

Сравните условные вероятности: проверьте, равны ли P(A|B) и P(A|B^c) и равны ли они P(A). Если P(A|B) ≠ P(A), то независимости нет.Ищите скрытые переменные (стратификацию): разбиение по категориям/группам иногда показывает сильную условную зависимость, которая «стирается» при объединении (пример с деревнями, Simpson’ов парадокс).Экспериментальная проверка: в прикладных задачах лучший способ — рандомизация / контроль внешних факторов. Если вы можете контролировать распределение потенциальных конфаундеров, то наблюдаемая независимость станет более достоверной как причинная.Статистические тесты: в данных можно использовать χ²-тест независимости (для категориальных данных), тесты на равенство условных вероятностей, корреляцию и т. п. Однако статистический тест только оценивает вероятность наблюдаемых отклонений от независимости при заданной модели; он не доказывает отсутствие скрытых конфаундеров.

Короткое резюме:

Математически независимость = P(A ∩ B) = P(A)P(B).Но такое равенство может возникнуть «случайно» на маргинальном уровне, в то время как при условии на другие факторы A и B зависимы.На практике проверяйте условные вероятности, ищите скрытые переменные и по возможности используйте рандомизацию/контроль. Примеры с возвращением (независимость) и без возвращения (зависимость) хорошо иллюстрируют разницу.