Рассмотрим уравнение
x^2 − y^2 = 2019.

Шаг 1. Факторизация:
x^2 − y^2 = (x − y)(x + y) = 2019.

Обозначим u = x − y, v = x + y. Тогда u·v = 2019 и
x = (u + v)/2, y = (v − u)/2.
Замечание (непрерывность по целым): u и v должны иметь одинаковую чётность (чтобы x и y были целыми), поскольку u + v = 2x — чётное число. Так как 2019 нечётно, любые целочисленные делители u и v, дающие произведение 2019, будут нечётными, значит чётность удовлетворена.

Шаг 2. Делители числа 2019:
2019 = 3 · 673, где 673 — простое. Делители: ±1, ±3, ±673, ±2019.
Перечисляем упорядоченные пары (u,v) с u·v = 2019 (учитываем порядок, потому что v−u даёт разные y):
(1,2019), (3,673), (673,3), (2019,1) и симметрично с минусами: (−1,−2019), (−3,−673), (−673,−3), (−2019,−1).

Шаг 3. Находим (x,y) по формуле:

(u,v) = (1,2019) → x = (1+2019)/2 = 1010, y = (2019−1)/2 = 1009.(3,673) → x = 338, y = 335.(673,3) → x = 338, y = −335.(2019,1) → x = 1010, y = −1009.
Аналогично минусовые пары дают те же значения x,y с обоими знаками противоположными:
(−1,−2019) → (−1010,−1009) и т. д.

Итого все целые решения:
(x,y) = (±1010, ±1009) и (x,y) = (±338, ±335),
причём знаки x и y можно менять независимо (всего 8 различных пар).

Метод для общего уравнения a^2 − b^2 = c и типичные ошибки

1) Общая идея:
a^2 − b^2 = c ⇔ (a − b)(a + b) = c.
Пусть u = a − b, v = a + b, значит u·v = c и
a = (u + v)/2, b = (v − u)/2.
Нужно просмотреть все целочисленные делящиеся пары (u, v) такие, что u·v = c и u и v имеют одну и ту же чётность (иначе a и b не целые).

2) Практические замечания:

Если c нечётно, оба множителя u и v обязательно нечётные → чётность соблюдена.Если c чётно, u и v должны быть одновременно чётными (иначе их произведение чётно, но сумма/разность дадут полуцелые a или b). То есть при c = 2^k·m обычно нужно брать делители с учётом чётности.Следует рассматривать и отрицательные делители: пары (d, c/d) и (−d, −c/d) дают разные (a,b) (в частности меняют знаки).Упорядоченность пар важна: (u,v) и (v,u) дают разные значения b (они меняют знак b), поэтому оба варианта нужно проверять.

3) Типичные ошибки:

Заболвение проверки чётности u и v — приводит к полуцелым a или b.Рассматривать только положительные делители — можно упустить решения с отрицательными x или y.Считать, что факторизация c на простые однозначно даёт решения (нужно рассмотреть все разбиения множителей, в том числе перестановки и знаки).Неправильно решать случай c = 0: тогда (a − b)(a + b) = 0 ⇒ a = ±b, бесконечно много целых решений вида (t,t) и (t,−t).Для отрицательного c у одного из множителей будет отрицательный знак — это нормально, но снова нужна проверка чётности.

4) Кратный алгоритм:

Перечислить все парные делители (d, c/d).Оставить те пары, где d и c/d имеют одну и ту же чётность.Для каждой пары вычислить a = (d + c/d)/2, b = (c/d − d)/2.Включить также пары с обоими знаками минус.Проверить полученные (a,b).

Таким образом задачу x^2 − y^2 = 2019 можно решить быстро: факторизуем 2019 = 3·673, перебираем делители и получаем два по модулю набора решений: (1010,1009) и (338,335) с произвольными знаками.