Пусть n = 10 — 10 различных человек вокруг круглого стола.

1) Повороты считаются эквивалентными, отражения — различными.
Самый простой способ: зафиксировать одного человека (он «на чувствительном» месте) — тогда остальных можно расположить по кругу в (n−1)! способами. При n = 10 получаем
(10−1)! = 9! = 362880.

2) Если отражения тоже считаются одинаковыми.
Интуитивно: каждую посадку и её зеркальное отображение считаем одним, так что нужно поделить предыдущий результат на 2 (при n ≥ 3 нет посадок, тождественных своему зеркалу). Получаем
9!/2 = 362880/2 = 181440.

Несколько методов подсчёта и сравнение

A. «Зафиксировать одного человека». Очень просто и наглядно: число классов эквивалентности при учёте только поворотов = (n−1)!. При дополнительно тождественности зеркал — пары «схема — её зеркало» объединяются, даём деление на 2 (при n ≥ 3), получаем (n−1)!/2.

B. Групповой подход (операция группы поворотов). Общее правило: число различных посадок = n!/n = (n−1)!, потому что группа поворотов порядка n действует свободно на всех перестановках (не существует ненулевого поворота, фиксирующего разнесённых людей). Для учета и отражений используетесь диэдральную группу D_n порядка 2n; если действие свободно (нет ненулевой симметрии, фиксирующей расклад, что верно для различных людей при n ≥ 3), то число орбит = n!/(2n) = (n−1)!/2.

C. Метод Бёрнсайда (rigorous). Рассчитываем число фиксированных перестановок для каждой симметрии и усредняем. Для n ≥ 3 единственной симметрией, фиксирующей какие-либо перестановки, является тождество (фиксирует n! перестановок); остальные повороты и отражения фиксируют 0. Тогда число орбит при учёте всех симметрий = n!/(2n) = (n−1)!/2. При учёте только поворотов делим на n и получаем (n−1)!.

Замечание: для n = 1,2 есть особенности, но для n = 10 вышеформулы корректны.

Итого для 10 человек:

отражения различны: 9! = 362880;отражения тождественны: 9!/2 = 181440.