Решение (коротко). Пусть вершина вписанного прямоугольника в первой четверти имеет координаты (x,y) (тогда остальные — (±x,±y)). Площадь прямоугольника
S = 4xy,
и точки лежат на эллипсе x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1.

1) Параметризация (самая простая для 2D):
положим x = a cos t, y = b sin t. Тогда
S(t) = 4ab cos t sin t = 2ab sin 2t.
Максимум достигается при sin 2t = 1, значит S_max = 2ab. Соответствующие координаты: x = a/√2, y = b/√2.

2) Метод множителей Лагранжа (альтернативный короткий вывод):
максимизируем f(x,y)=xy при ограничении g(x,y)=x^2/a^2 + y^2/b^2 −1=0.
∇f = λ∇g ⇒ (y, x) = λ(2x/a^2, 2y/b^2).
Отсюда x^2 = a^2/2, y^2 = b^2/2 (ненулевые решения), и S_max = 4·(a/√2)·(b/√2) = 2ab.

3) Геометрическое (еще короче и полезно для обобщений):
эллипс — образ единичной окружности линейным отображением (x',y') → (ax',by'). Для окружности x'^2+y'^2=1 максимум площади вписанного прямоугольника достигается квадратом со стороной √2 (площадь 2). Линейное отображение умножает площади на |det| = ab, значит для эллипса S_max = 2·ab.

Какая стратегия предпочтительна и почему

Для классической двухмерной задачи самый быстрый и прозрачный путь — параметризация через тригонометрию или геометрическое (аффинное) соображение. Тригонометрия даёт прямой расчёт, геометрия (линейное отображение окружности в эллипс) даёт интуицию и очень простой вывод.Множители Лагранжа тоже работают и полезны, если хотите показать строгую оптимальность при ограничении; но вычисления громоздче и менее наглядны здесь.Для обобщений (например, к эллипсоиду в n-мерном пространстве или к произвольному аффинному образу круга/шара) предпочтительнее геометрический/аффинный подход: линейные отображения масштабируют объёмы детерминантом, а симметрия шара/окружности делает задачу тривиальной до применения масштабирующего оператора. Множители Лагранжа в высоких размерах обычно дают громоздкие системы уравнений и хуже выявляют структуру.

Итого: максимально возможная площадь прямоугольника, вписанного в эллипс x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1, равна 2ab. Для обобщений рекомендую аффинный (геометрический) подход; для учебных целей и проверки хорош и метод Лагранжа.