Формулировка $теоремаБольцано,частныйслучайпромежуточногозначения$. Пусть f : $$a,b$$ → R непрерывна на $$a,b$$ и f$a$·f$b$ < 0. Тогда существует c ∈ $a,b$ такой, что f$c$ = 0.

Доказательство с указанием всех шагов $методдвучленногоделения,«bisection»$.

Приведём знак на концах. Так как f$a$·f$b$ < 0, то либо f$a$ < 0 < f$b$, либо f$b$ < 0 < f$a$. Для определённости примем f$a$ < 0 < f$b$ $впротивномслучаепоменяемместамиaиb$.

Начальный шаг двучленной деления. Обозначим I0 = $$a0,b0$$ := $$a,b$$. Возьмём середину m0 = $a0+b0$/2. Если f$m0$ = 0 — теорема доказана. Если f$m0$ ≠ 0, то по знакам либо

f$m0$ > 0: тогда на отрезке $$a0,m0$$ сохраняется перемена знака (f(a0) < 0, f(m0) > 0), поэтому положим I1 = $$a1,b1$$ := $$a0,m0$$;f$m0$ < 0: тогда на отрезке $$m0,b0$$ сохраняется перемена знака, положим I1 = $$a1,b1$$ := $$m0,b0$$.

Рекурсивный шаг. Предположим построены I_n = $$a_n,b_n$$ с условием f$a_n$ ≤ 0 ≤ f$b_n$ $включаемвозможностьравенства,еслигде-товстретилосьноль$. Возьмём середину m_n = $a_n+b_n$/2. Если f$m<em>n$ = 0 — закончили. Иначе выберем I{n+1} равным той половине I_n, на которой сохраняется смена знака: то есть либо $$a_n,m_n$$ (если f(m_n) > 0), либо $$m_n,b_n$$ (если f(m_n) < 0). Тогда для всех n сохраняется инвариант f$a_n$ ≤ 0 ≤ f$b_n$.

Свойства последовательностей концов. По построению последовательности a_n и b_n монотонны: a_0 ≤ a_1 ≤ a_2 ≤ ... и b_0 ≥ b_1 ≥ b_2 ≥ ...; кроме того длина интервала
b_n − a_n = $b-a$/2^n → 0 при n → ∞.

Применение свойства вложенных отрезков $комплексностьвещественныхчисел$. Так как последовательности a_n и b_n монотонны и ограничены, они сходятся: a_n → c, b_n → d. Но так как b_n − a_n → 0, получаем c = d =: c. То есть пересечение всех I_n состоит ровно из единственной точки c.

Переход к значениям функции. По построению для всех n выполнено f$a_n$ ≤ 0 ≤ f$b_n$. Поскольку a_n → c и b_n → c, и f непрерывна в c $непрерывнанавсём[a,b]$, имеем пределы
f$a_n$ → f$c$, f$b_n$ → f$c$.
Переходя к пределу в неравенствах f$a_n$ ≤ 0 ≤ f$b_n$, получаем f$c$ ≤ 0 ≤ f$c$, т.е. f$c$ = 0.

Это доказывает существование корня c ∈ $$a,b$$. Так как f$a$ и f$b$ имели разные знаки, корень лежит строго внутри $c\ne aиc\ne b$, поэтому c ∈ $a,b$.

Замечания по строгости: в доказательстве использованы

принцип двучленного деления $конструктивноепостроениевложенныхотрезков$,свойство вложенных замкнутых отрезков $ихпересечениенепусто;пристремлениидлинкнулю—состоитизоднойточки$ — это выражение полноты множества R,непрерывность f $чтобыпереходитькпределувзначенияхфункции$.

Необходимость непрерывности $иболеетонкиезамечания$

Непрерывность на всём $$a,b$$ не всегда требуется в полной силе. Для получения корня достаточно, чтобы f обладала свойством промежуточных значений $Darbouxproperty$ на $$a,b$$ или хотя бы была непрерывна в точке c, к которой сходятся концы отрезков. Но так как c заранее неизвестна, удобнее предполагать непрерывность на всём $$a,b$$. Классическое достаточное условие: непрерывность на $$a,b$$.

Контрпример при отсутствии непрерывности. Рассмотрим функцию
f$x$ = { -1, x < 0; 1, x ≥ 0 } на интервале $$-1,1$$. Тогда f$-1$ = -1, f$1$ = 1, значит f$-1$·f$1$ < 0, но никакой x с f$x$ = 0 не существует. Это показывает, что без некоторой формы непрерывности $или,шире,промежуточногозначения$ утверждение неверно.

Ещё одно замечание о полноте чисел. В условии теоремы нельзя заменить R на множество рациональных чисел Q: на отрезке $$1,2$$ ∩ Q функция g$x$ = x^2 − 2 принимает на концах значения с разными знаками, но в Q нет корня x = sqrt$2$. Значит полнота R $используемаявтеоремеовложенныхотрезкахилиопределемонотоннойограниченнойпоследовательности$ существенна.

Практическая интерпретация — метод половинного деления $bisection$

Конструктивно метод выдаёт последовательность отрезков, длина которых уменьшается вдвое на каждом шаге.После n шагов длина отрезка не больше $b-a$/2^n, так что можно получить приближение корня с заданной точностью, причём алгоритм гарантированно сходится $приусловиинепрерывностииначальнойсменызнака$.

Краткое резюме

Ключевые шаги: построение вложенных отрезков методом двучленного деления, монотонность/ограниченность концов, их сходимость к общей точке, применение непрерывности для перехода к значению функции в пределе.Непрерывность $или,посути,свойствопромежуточногозначения$ необходима: без неё утверждение неверно.Полнота R $теоремаовложенныхотрезкахилимонотоннойсходимости$ используется для получения предельной точки.