Ниже — исправленная формулировка и корректный индуктивный шаг.

Формулировка:
Для любого целого n ≥ 2 число n либо простое, либо представимо в виде произведения простых множителей.

Доказательство $силънаяиндукцияпоn$:

База: n = 2. Число 2 простое, значит утверждение верно.

Индуктивное предположение $сильнаяиндукция$: пусть для всех целых m с 2 ≤ m < n утверждение верно $т.е.каждоетакоеmлибопростое,либопроизведениепростых$.

Индуктивный шаг: рассмотрим n ≥ 3.

Если n простое, то всё готово.Если n составное, то по определению составного числа существует делитель a такой, что 1 < a < n. Пусть b = n / a. Тогда также 1 < b < n (потому что a > 1 и a < n). Следовательно и a, и b попадают под индуктивное предположение, то есть они представимы как произведения простых. Тогда n = a·b есть произведение простых.

Вывод: по принципу сильной индукции утверждение верно для всех n ≥ 2.

Комментарии по ошибке в исходном «доказательстве»:

Ошибка состояла в том, что при переходе n = a·b студент не обосновал, что можно взять разложение с 1 < a, b < n. Тривиальное разложение 1·n не даёт уменьшения аргумента и потому не подходит.Исправление: явно рассмотреть случай «n составное» и в этом случае выбрать не тривиальный делитель a (1 < a < n). Это и даёт оба множителя строго меньше n, чтобы применить индуктивное предположение.Также важно исключить n = 1 из утверждения $дляn=1формулировка«произведениепростых»некорректна$.

$Отметка:это—существованиеразложениянапростые.Уникальностьразложения—отдельнаятеорема.$