Значение интеграла
I = ∫_0^1 ln x /$1+x$ dx
равно −π^2/12. Ниже — несколько способов получения этого результата и комментарии о том, где надо аккуратно работать с предельными переходами.

1) С помощью разложения 1/$1+x$ Для |x|<1 имеем 1/$1+x$=∑{n=0}^∞ $-1$^n x^n. Домножим на ln x и проинтегрируем по x от 0 до 1:
I = ∑{n=0}^∞ $-1$^n ∫_0^1 x^n ln x dx.
Вычисляем элементарно ∫0^1 x^n ln x dx = −1/$n+1$^2. Получаем
I = −∑{n=0}^∞ $-1$^n /$n+1$^2 = −∑{k=1}^∞ $-1$^{k-1}/k^2 = −π^2/12.
Комментарий о корректности: обмен суммы и интеграла оправдан потому, что
∑{n=0}^∞ ∫0^1 |x^n ln x| dx = ∑{n=0}^∞ 1/$n+1$^2 < ∞,
т.е. ряд функций абсолютно суммируем в L^1, поэтому применение Fubini/Tonelli $иликритерийВейерштрассавинтегральномвиде$ разрешено.

2) Интегрирование по частям + ряд для ln$1+x$ Возьмём u = ln x, dv = dx/$1+x$. Тогда du = dx/x, v = ln$1+x$. Получаем
I = $$lnx\cdot ln(1+x)$$_0^1 − ∫_0^1 ln$1+x$·$dx/x$.
Граничный вклад равен нулю: при x→1 ln x =0, при x→0 ln$1+x$∼x, поэтому ln x·ln$1+x$→0.
Итак I = −∫0^1 ln$1+x$/x dx. Используем ряд ln$1+x$=∑{k=1}^∞ $-1$^{k-1} x^k/k (|x|<1) и меняем сумму и интеграл (проверка абсолютной сходимости даёт ∑1/k^2<∞):
I = −∑_{k=1}^∞ $-1$^{k-1}/k^2 = −π^2/12.

Здесь нужно убедиться в том, что граничный член при интегрировании по частям действительно равен 0, и что обмен суммы и интеграла оправдан $абсолютнаясходимостьрядаинтегралов$.

3) Подстановка x = e^{−u}
Пусть x = e^{−u}, тогда ln x = −u, dx = −e^{−u} du. При x:0→1 получаем u:∞→0 и
I = ∫_{∞}^{0} $-u$/$1+e^{-u}$ $-e^{-u}du$ = −∫0^∞ u/$e^u+1$ du.
Разложим 1/$e^u+1$ = ∑{n=0}^∞ $-1$^n e^{−$n+1$u} и интегрируем по u:
∫_0^∞ u e^{−$n+1$u} du = 1/$n+1$^2,
поэтому ∫0^∞ u/$e^u+1$ du = ∑{n=0}^∞ $-1$^n /$n+1$^2 = π^2/12,
и I = −π^2/12.
Здесь также требуется обоснование обмена суммы и интеграла; это делается как в п.1 $рядинтеграловабсолютносходится$.

4) Параметрический метод $дифференцированиеподзнакоминтеграла$ Рассмотрим F$a$=∫0^1 x^{a−1}/$1+x$ dx (Re a>0). Можно разложить подынтегральную функцию в ряд и получить
F$a$=∑{n=0}^∞ $-1$^n /$n+a$.
Этот ряд выражается через дигамма-функцию: ∑_{n=0}^∞ $-1$^n/$n+a$ = $1/2$$$\psi ((a+1)/2)-\psi (a/2)$$.
Тогда I = F′$1$ = $1/4$$$\psi \prime (1)-\psi \prime (1/2)$$ = $1/4$$${\pi }^2/6-{\pi }^2/2$$ = −π^2/12.
При этом требуется обоснование возможности дифференцирования под знаком суммы/интеграла (можно опираться на равномерную сходимость на компактах Re a≥ε>0 и однородную оценку производных).

Где нужно быть аккуратным

Поведение в нуле: ln x → −∞, поэтому интеграл является несобственным. При интегрировании по частям надо проверить, что крайний член стремится к нулю $здесьэтотак,потомучтоln(1+x)x$.Разложения по степеням $1/(1+x),ln(1+x)$ сходятся на $-1,1$ и при x=1 — условно; обмен суммы и интеграла требует проверки $лучшевоспользоватьсякритериямиабсолютнойсходимостирядаинтеграловилиприменитьтеоремуФубини/Тонелли/доминированнойсходимости$.При параметрическом дифференцировании нужно контролировать сходимость ряда/интеграла для окрестности параметра, чтобы законно менять порядок предельных операций.

Итого: все приведённые способы дают I = −π^2/12; в практическом применении самый простой и распространённый путь — интегрирование по частям, затем разложение ln$1+x$ в ряд или прямое разложение 1/$1+x$ и использование ∫_0^1 x^n ln x dx = −1/$n+1$^2.