Ключевая идея: спектр 3×3 матрицы A $мульти-множествособственныхзначений\lambda 1,\lambda 2,\lambda 3$ полностью задаётся коэффициентами её характеристического многочлена
p$\lambda$ = det$\lambda I-A$ = λ^3 − $trA$ λ^2 + σ2 λ − det A,
где tr A = λ1+λ2+λ3, σ2 = λ1λ2+λ1λ3+λ2λ3 $втораясимметрическаясумма$, det A = λ1λ2λ3.

У вас уже даны tr A = 3 и det A = 2. Чтобы однозначно восстановить спектр, не хватает единственного числового параметра — σ2 $илиэквивалентнойинформации$. То есть достаточно любой из следующих дополнительных данных:

непосредственно σ2 = λ1λ2+λ1λ3+λ2λ3; tr$A^2$ $поскольку\sigma 2=1/2((trA{)}^2-tr(A^2))$; trace$adjA$ $следсопутствующейматрицы$ — он равен σ2; одно собственное значение λ1 $тогда\lambda 2и\lambda 3определяютсякаккорниквадратичногоуравненияссуммойtrA-\lambda 1ипроизведениемdetA/\lambda 1;замечание:\lambda 1\ne 0,впротивномслучаепротиворечитdetA=2$; характеристический многочлен целиком $эквивалентно:всетрикоэффициента$.

Без знания σ2 $илиэквивалентногопараметра$ множество возможных троек $\lambda 1,\lambda 2,\lambda 3$ с заданными суммой 3 и произведением 2 бесконечно.

Методы и неравенства для оценки $включаячастичнуюинформацию$ собственных значений:

1) Характеристический многочлен и симметрические суммы.

Записать p$\lambda$ = λ^3 − 3λ^2 + σ2 λ − 2. Если известен σ2, решить кубическое уравнение $аналитическииличисленно$.Связь с tr$A^2$: tr$A^2$ = $trA$^2 − 2σ2, поэтому знание tr$A^2$ даёт σ2.

2) Ньютоновы тождества $powersums$.

s1 = tr A, s2 = tr$A^2$ = λ1^2+λ2^2+λ3^2, s3 = tr$A^3$ = λ1^3+λ2^3+λ3^3 и т.д. Эти суммы выражаются через σ1=tr A, σ2, σ3=det A и позволяют оценивать или восстанавливать коэффициенты.

3) Неравенства между коэффициентами и корнями.

AM–GM: если все λi ≥ 0, то $trA/3$^3 ≥ det A. В вашем случае $3/3$^3 =1 < 2, значит не все собственные значения могут быть неотрицательными.Неравенства для квадратов: λ1^2+λ2^2+λ3^2 ≥ $\lambda 1+\lambda 2+\lambda 3$^2/3 = 3^2/3 = 3, т. е. tr$A^2$ ≥ 3. Через σ2 это даёт ограничение на σ2: σ2 = $9-tr(A^2)$/2 ≤ $9-3$/2 = 3.Общая оценка максимального по модулю собственного числа: ρ$A$ ≤ ||A||, где ||·|| — любая операторная норма. Например ρ$A$ ≤ ||A||_∞ = max_i sum_j |aij|. Но из известной только суммы элементов первой строки = 4 нельзя оценить ||A||∞ в целом; если бы все строки имели сумму ≤ R, то ρ$A$ ≤ R.

4) След, определитель и неравенства для модулей корней кубического:

Если λi — корни λ^3 − 3λ^2 + σ2 λ − 2 = 0, то можно применять оценки корней по коэффициентам $например,потеоремеограницахкорнеймногочлена$: все корни лежат в круге |λ| ≤ 1 + max{|3|,|σ2|,|2|}.

5) Теоремы включения спектра:

Горшгорин $Gershgorin$: каждый собственный корень лежит в объединении дисков D$a_{i}i,R_i$ с радиусом Ri = sum{j≠i} |a_ij|. Но имея только сумму элементов первой строки = 4, напрямую нет достаточной информации об a_ii и суммах модулей.Улучшения: теоремы Брауэра, Остроградского и др. дают более тонкие области включения при знании элементов матрицы.

6) Дополнительные структуры матрицы:

Если A симметрична $реально-симметрическая$, то все λi ∈ R, и знание tr, det, tr$A^2$ однозначно даёт λi $т.к.решаетсякубическоестремяреальнымикорнями$; при симметричности можно применять межлеевые теоремы и интерлейсинг.Если A несимметрична, корни могут быть комплексными парами; тем не менее коэффициенты $tr,\sigma 2,det$ всё равно однозначно определяют набор корней $сучётомкратностей$.

Практические рекомендации

Если хотите однозначно восстановить спектр: попросите дать σ2 $илиtr(A^2)илиодинсобственныйкорень$.Для получения оценок спектра без полного σ2 используйте: Gershgorin $приданныхпострокам/столбцам$, нормы матриц $еслиизвестныэлементы$, и неравенства, связывающие tr, det и tr$A^2$.Для численного нахождения корней, имея σ2, решите кубическое численно $илианалитически$.

Короткая сводка:

Недостающий параметр для однозначности — σ2 = λ1λ2+λ1λ3+λ2λ3 $илиэквивалент:tr(A^2)илиодинсобственныйкореньит.п.$. Методы: характеристический многочлен + Ньютоновы тождества; оценочные инструменты — Gershgorin, нормы матриц, AM–GM и прочие неравенства для сумм и произведений собственных значений.