Надо сразу оговориться: требование «окружность проходит через три заданные точки» само по себе $притрёхнесопадающих,неколлинеарныхточках$ определяет окружность однозначно — это её описанная окружность. Требование «и при этом касаться данной прямой» накладывает дополнительное $обычнонесовместимое$ условие. Ниже приведу несколько подходов к построению $икпроверкесуществования$, а затем разберу все существенные частные расположения точек и вывожу условия существования/единственности.

Прямой $самыйпростой$ способ — «построить и проверить»
Постройте описанную окружность O$ABC$ для трёх точек A,B,C $еслиточкиколлинеарны,описаннойокружностинет—решенийнет$.Найдите центр O и радиус R.Постройте расстояние от центра до прямой l: d = dist$O,l$.Если d = R, то окружность существует и единственна $этотасамаяописаннаяокружность,онакасательнакl$. Если d ≠ R, то решения нет $никакаядругаяокружностьчерезA,B,Cнесуществует$.

Итого: для трёх различных и неколлинеарных точек либо ровно одно решение $еслиописаннаяокружностьслучайнокасательнакl$, либо никаких решений.

Локусный подход $центркакпересечениеусловий$

Центр искомой окружности O должен удовлетворять трём равенствам: OA = OB = OC = R и одновременно расстояние от O до прямой l равно R.Из первых двух равенств центр лежит на средней перпендикулярной к AB; из двух любых равенств — на пересечении средних перпендикулярных, то есть центр фиксируется однозначно $принепараллельности/неколлинеарности$. После нахождения этого пересечения остаётся проверка равенства dist$O,l$=OA.Этот способ эквивалентен способу 1, но удобен для рассуждений о локусах: равенство dist$O,l$=OA означает, что O лежит на параболе с фокусом в A и директрисой l; для двух точек A и B центр O должен одновременно лежать на перпендикулярной к AB и на параболе — пересечение даёт 0,1 или 2 решений $этоужеситуация«черездветочкиикасательная»—см.ниже$.

Координатный / алгебраический способ $решениеуравнений$

Возьмём неизвестный центр $h,k$ и радиус r. Для трёх точек $xi,yi$ получаем три уравнения $h-xi$^2+$k-yi$^2 = r^2 $i=1,2,3$. Уравнение касания задаётся как |ah+bk+c|/√$a^2+b^2$ = r $еслипрямаяl:ax+by+c=0$. Вычитаем пары уравнений, чтобы исключить r^2 — получим линейную систему для h,k; совместность этой системы с уравнением касания даёт условие существования. Это даёт явную проверку и в случае положительного результата — координаты центра и радиуса; если несовместно — решений нет. Этот метод удобен если нужны численные/аналитические критерии.

Инверсии / преобразования $альтернативныегеометрическиеприёмы$

В задаче «окружность через две точки и касательная» удобен приём инверсии с центром в произвольной точке на прямой l: круги, касающиеся l в этой точке, под инверсией превращаются в прямые и наоборот; это позволяет свести проблему к построению прямой через два образа точек. Практически это даёт способ найти возможные точки касания и затем восстановить окружности. На чисто синтетическом уровне этот приём даёт второе семейство конструкций и объясняет число решений $см.пунктпродветочки$.Отражение и гомотетия: при некоторых частных положениях $например,когдаоднаизточеклежитнаl$ простые отражения и перпендикуляры дают конструкцию центра.

Вариантная задача «через две точки и касательная к прямой» $важныйродительскийслучай$ Потому что одно «через три точки» обычно либо да/нет, полезно разобрать ситуацию с двумя точками:

Условие для центра O: OA = OB = dist$O,l$. Центр лежит на серединной перпендикулярной к AB и одновременно на параболе с фокусом в A $илиB$ и директрисой l. Пересечение прямой и параболы даёт в общем до двух точек -> до двух окружностей. Итого: для двух точек и прямой обычно 0,1 или 2 решений.Геометрически стандартный приём $считающийся«построимым»вусловияхЕвклидовойгеометрии$: ищем точку T касания на прямой l. Условие: существует окружность, касающаяся l в T и проходящая через A,B. Тогда при инверсии с центром T $илиприиспользованиисвойствакасательной:радиусвточкекасанияперпендикуляренl$ можно свести задачу к построению прямой/окружности через преобразованные точки; это даёт конструкцию для T $обычнобудетдвавозможныхвариантаT,следовательнодвеокружности$. Конкретная конструкция: центр O должен лежать на перпендикулярной к l в T и на серединной перпендикулярной к AB — пересечение даёт O, затем проверяем, что OA = dist$O,l$. Задача сводится к нахождению T так, чтобы серединная перпендикулярная к AB пересекала перпендикуляр к l в расстоянии, равном OA; это даёт квадратичное уравнение => максимум два решения.

Особые частные случаи и итог по существованию/единственности

Три неколлинеарные точки A,B,C: описанная окружность существует и единственна; она будет касаться прямой l только в том $редком$ случае, когда dist$O_{c}irc,l$ = R_circ. В этом случае решение единственно; иначе решений нет.Три коллинеарные точки: нет окружности, проходящей через них $кромевырожденногобесконечногорадиуса$, значит решений нет.Если одна из точек лежит на l, скажем C ∈ l, и требуется, чтобы окружность через A,B,C касалась l: тогда касание должно происходить в C $иначеокружностьпересекалабыlвдвухточках$. Центр должен лежать на перпендикуляре к l в C и одновременно быть описанным центром треугольника ABC. Это даёт либо одно решение $еслиописанныйцентрдействительнолежитнаэтойперпендикулярной$, либо никаких. То есть наличие точки на l даёт жёсткое условие согласования.Если две разные заданные точки лежат на l, то никакая окружность может касаться l и одновременно проходить через эти две разные точки $касательнаяпересекаетпрямуюровноводнуточке$, значит решений нет $единственныйчастныйслучай—еслиобеточкисовпадают—тогдаэтосводитсяк«черезоднуточкуикасательная»,см.ниже$.Если дана только задача «через одну точку и касательная», тогда бесконечно много окружностей $любойцентрнаперпендикулярекlчерезэтуточкузадаётокружностьсрадиусомравнымрасстояниюдоэтойпрямой$, но если дополнительно фиксированы ещё условия $вторая/третьяточка$ число решений уменьшается.

Кратко о числах решений:

Через три заданные неплохо расположенные точки — либо 0, либо 1 решение $обычно0,редко1$.Через две заданные точки и касательная — 0, 1 или 2 решений $обычномаксимум2$.Через одну заданную точку и касательная — бесконечно много $еслитолькоэтоусловие$, но при добавлении дополнительных ограничений число решений уменьшается.

Резюме $практическиерекомендации$

Если вам дали ровно три точки: первым делом постройте описанную окружность; ответ либо она $есликасательна$, либо решения нет.Если вам дали менее трёх точек $типичныйпрактическийвариант—дветочки+прямая$: используйте локусный метод $перпендикулярнаякAB+парабола$ или инверсию/геометрические приёмы, ожидайте до двух решений.Для специальных расположений $точкинапрямой,совпадения$ разберите отдельно — чаще всего это либо однозначно неразрешимо, либо сводится к простому пересечению перпендикулярных/серединных.

Если хотите, могу:

привести конкретную пошаговую построение $компас+линейка$ для случая «две точки A,B и прямая l» $включаяконструкциювсехдвухвозможныхокружностей$, либоподробно выписать алгебраическое условие совместности для трёх точек в координатах и показать пример с числовыми данными.