Ответ: предел равен 1/120.

Как получать и почему — несколько способов и замечаний о точности.

1) Ряд Тейлора $обычныйспособ$.
sin x имеет разложение в ряд Тейлора в окрестности 0:
sin x = x − x^3/6 + x^5/120 − x^7/5040 + … .
Отсюда
sin x − x + x^3/6 = x^5/120 + R$x$,
где остаточный член R$x$ = O$x^7$. Делим на x^5:
$sinx-x+x^3/6$/x^5 = 1/120 + O$x^2$ → 1/120 при x→0.

Точность остатка можно записать явно в форме Лагранжа:
R$x$ = f^$7$$\xi$ x^7/7! для некоторого ξ между 0 и x, при f$x$=sin x. Так как |f^$7$| = |−cos| ≤ 1, то |R$x$| ≤ |x|^7/5040, значит R$x$/x^5 = O$x^2$ → 0.

2) Метод Лопиталя $альтернативно$.
Имеем 0/0, можно применить правило Лопиталя 5 раз. Если f$x$=sin x − x + x^3/6, то f^$5$$x$=cos x, и значение при x=0 равно 1. Для знаменателя $x^5$^$5$ = 5! = 120. Значит предел = 1/120.

3) Бином Ньютона и неравенства.
Бином Ньютона полезен при разложении $1+u$^α, но для sin x удобнее пользоваться табличным рядом или общей формой Тейлора. Неравенства $оценкиостаткачерезsupпроизводной$ используются для получения явной границы на остаточный член, как выше: |R| ≤ M|x|^7/7!, где M = sup |f^$7$| на интервале.

Тонкости и замечания о точности/округления:

Нужно разложить до того члена, который даст ненулевой вклад при делении на нужную степень x. Здесь в числителе первые два незначащие члена $xиx^3$ сокращаются, поэтому требуется учесть член порядка x^5. Если остановиться на x^3, получится неопределённость 0/0.При доказательстве важно контролировать остаточный член: он должен быть o$x^5$. Лагранжева форма остатка даёт такую оценку.При численных вычислениях прямое вычисление выражения при очень малых x опасно: вычитание близких по значению чисел $катастрофическаяпотерязначащихцифр$ может привести к серьёзной погрешности. Решение: использовать символьную $рядовую$ предобработку или повышенную точность $arbitraryprecision$, либо вычислять коэффициент ряда аналитически.Симметрия/чётность функций помогает: sin — нечётная, поэтому только нечётные степени в разложении, это упрощает выбор нужной степени.

Итого: используйте Тейлор с остатком $илимногократныйЛопитал$, включите член x^5 и оцените остаток как O$x^7$ — предел = 1/120.