Ошибка в рассуждении студента в том, что он использовал сравнение с 1/x неверным образом. Из неравенства |sin x / x| ≤ 1/x и того, что ∫_1^∞ 1/x dx расходится, нельзя сделать вывод, что ∫_1^∞ sin x / x dx расходится. Такое сравнение даёт смысл только в обратную сторону: если 0 ≤ g$x$ ≤ f$x$ и ∫ g$x$ dx расходится, то это не даёт информации о ∫ f$x$ dx; а для доказательства сходимости по сравнению нужно, чтобы интеграл большего $илиравного$ положительного интегрируемого функионала сходился. Для абсолютной сходимости верно: если ∫_1^∞ |sin x|/x dx сходился бы, то ∫_1^∞ sin x / x сходился бы; но обратное не обязательно.

Правильный результат: интеграл ∫_1^∞ sin x / x dx сходится $условно$, но не сходится абсолютно $тоесть{\int }_1^{\infty }|sinx|/xdx=\infty$.

Короткое доказательство сходимости $Dirichletилиинтегрированиемпочастям$. Пусть A$t$ = ∫_1^t sin x dx = -cos t + cos 1, отсюда A$t$ ограничена по модулю $|A(t)|\le 2$. Тогда по формуле интегрирования по частям
∫_1^R $sinx$/x dx = A$R$/R + ∫_1^R A$x$/x^2 dx.
При R → ∞ первый член → 0 $посколькуA(R)ограничена,а1/R\to 0$, а второе интегральное слагаемое сходится абсолютно, так как |A$x$/x^2| ≤ const·1/x^2 и ∫_1^∞ 1/x^2 < ∞. Следовательно предел существует и интеграл сходится.

Доказательство расходимости абсолютной сходимости: на отрезках вида $$2\pi k+\pi /6,2\pi k+5\pi /6$$ sin x ≥ 1/2, длина этих отрезков = 2π/3, поэтому
∫_{2πk+π/6}^{2πk+5π/6} |sin x|/x dx ≥ $1/2$·$2\pi /3$·1/$const\cdot k$ ~ C/k.
Сумма таких вкладов по k даёт гармонический ряд, который расходится, значит ∫_1^∞ |sin x|/x dx = ∞.

Значение: ∫_1^∞ sin x / x dx = ∫_0^∞ sin x / x dx − ∫_0^1 sin x / x dx = π/2 − Si$1$, где Si$x$ = ∫_0^x $sint$/t dt. Численно это примерно 0.6247.

Итого: интеграл сходится условно; ошибка студента — неверное использование сравнения с 1/x $нельзяиз|f|\le gирасходимости\int gсделатьвыводорасходимости\int f$.