Рассмотрим f$x$ = x^5 − 5x + 1 на отрезке $$-2,2$$. Сначала несколько фактов о функции и корнях, затем — сравнение методов и рекомендации.

1) Где корни находятся

f$-2$ = −21, f$-1$ = 5 ⇒ по теореме об промежуточном значении есть корень в $-2,-1$.f$0$ = 1, f$1$ = −3 ⇒ есть корень в $0,1$.f$1$ = −3, f$2$ = 23 ⇒ есть корень в $1,2$.
Итого на $$-2,2$$ три вещественных простых корня $простые,т.к.f^{\prime }(x)=5(x^4-1)=0тольковx=\pm 1,ноf(\pm 1)\ne 0$.

Приближённые значения $дляориентира$:

левый корень ≈ −1.5417,малый корень ≈ 0.200064,правый корень ≈ 1.4427.

2) Метод бисекции

Требования: непрерывность f и знание интервала $$a,b$$ с f$a$·f$b$ < 0.Гарантия: всегда сходится к некоторому корню внутри интервала $монотонноуменьшаетдлинуинтервалавдвое$. Сходимость линейная: погрешность уменьшается как $b-a$/2^n.Применимо к каждому из трёх интервалов-скобок: $-2,-1$, $0,1$, $1,2$. Надёжный метод, идеально для гарантированного нахождения корня и получения грубой сходимости.Недостаток: медленный $нуженмногоитерацийдлявысокойточности$.

3) Метод Ньютона

Формула: x_{n+1} = x_n − f$x_n$/f'$x_n$. Здесь f'$x$=5$x^4-1$.Локальная гарантия: если корень α простой $f^{\prime }(\alpha )\ne 0$ и начальное приближение достаточно близко к α, то сходимость квадратичная $оченьбыстрая$.Риски: требует вычисления производной; может расходиться или «прыгать» если x0 далеко от корня или f'$x$ близко к нулю. Для нашей функции f'$x$=0 в x = ±1, поэтому начальные приближения, близкие к ±1, опасны: малый знаменатель => большие шаги, возможен уход к другому корню или расходимость.Практически: если взять x0 близко к найденным скобкам $напримерx0=-1.54,0.2,1.44$, Newton быстро сходится к соответствующим корням. Но если начать, скажем, вблизи 1 $гдеf^{\prime }(1)=0$ поведение может быть плохим.

4) Метод секущих

Формула использует два начальных приближения x_{n−1}, x_n, не требует f'.Сходимость суперлинейная $порядок\phi \approx 1.618—золотоесечение$, обычно быстрее бисекции, но медленнее Ньтона близко к корню.Гарантии слабее: нет строгой гарантии глобальной сходимости — метод может не сойтись, если начальные точки плохо выбраны; однако часто работает надёжнее, чем незащищённый Ньютон, если f' мал или неизвестна.Для данной задачи: секущая будет работать хорошо, если взять начальные точки внутри скобок $напримердлясреднегокорнявзять0.2и0.21$, но без скобки можно потерять сходимость.

5) Практические рекомендации и комбинированные подходы

Для надёжного поиска всех корней: сначала расположить скобки по знаку $какмысделали$; затем:
либо использовать бисекцию прямо до требуемой точности $надёжно,номедленно$;либо быстро: сделать несколько $несколькоитераций$ шагов бисекции, чтобы получить хороший начальный интервал, затем переключиться на Ньютон $safeguardedNewton$ или на метод секущих для ускорения. Такой подход сочетает гарантию и скорость.Лучший практический выбор — готовые «safeguarded» алгоритмы $напримерBrent’smethod/ZEROIN$, которые комбинируют брикетирование, секущую и интерполяцию: обычно быстро и устойчиво.Если производная легко и дешёво вычисляется $какуполинома$, Ньютон с хорошим стартом — предпочтителен из-за квадратичной сходимости. Но избегайте стартов близко к x = ±1 $гдеf^{\prime }\approx 0$.Если производная трудна или ненадёжна, секущая — разумный компромисс; если нужна абсолютная надёжность — бисекция.

6) Краткое сравнение по критериям

Надёжность $гарантированнаясходимостьприизвестныхусловиях$: бисекция > Brent/запаздывающие брикетированные методы > секущая/Ньютон $ненадёжныеприплохомстарте$.Скорость $локально$: Ньютон $квадратичная$ > секущая $порядок1.618$ > бисекция $линейная$.Требования к информации: бисекция — только f; секущая — f; Ньютон — f и f'.Чувствительность к особенностям f: Ньютон чувствителен к малому f' $внашейзадачеэтоактуальновокрестности\pm 1$; секущая менее чувствительна, но всё равно может не сойтись; бисекция не чувствительна.

Вывод: для уравнения x^5 − 5x + 1 = 0 на $$-2,2$$ надёжно сначала получить скобки по знаку $как(-2,-1),(0,1),(1,2)$. Для надёжного, но медленного поиска — использовать бисекцию. Для быстрой высокой точности — внутри каждого скобка сделать несколько шагов бисекции, затем переключиться на Ньютон $еслистартдалекоот\pm 1$ или на секущую; ещё лучше — воспользоваться Brent’ом, который сочетает преимущества.