Обозначим всю работу за 1, производительность одного робота (r=\tfrac{1}{63}) (работы в час). Пути до участка у роботов: (1,2,\dots,N) км, скорость у всех одна (v), время прибытия (t_i=\dfrac{i}{v}). Последний прибывает в (t_N=\dfrac{N}{v}). Тогда работа (i)-го робота
[
w_i=r\,(t_N-ti)=\tfrac{1}{63}\Big(\tfrac{N-i}{v}\Big).
]
Сумма работ равна 1, откуда
[
\sum{i=1}^{N}wi=\tfrac{1}{63}\cdot\tfrac{1}{v}\sum{i=1}^{N}(N-i)=1
]
и после вычисления (\sum_{i=1}^{N}(N-i)=\tfrac{N(N-1)}{2}) получаем
[
\tfrac{1}{63}\cdot\tfrac{N(N-1)}{2v}=1\quad\Rightarrow\quad v=\tfrac{N(N-1)}{126}.
]
Отношение работы первого и предпоследнего робота равно
[
\frac{w1}{w{N-1}}=\frac{t_N-t_1}{tN-t{N-1}}=N-1.
]
По условию это равно 6, значит (N-1=6), (N=7). Время работы первого робота
[
t_{\text{работы}_1}=t_N-t_1=\frac{N-1}{v}=\frac{N-1}{N(N-1)/126}=\frac{126}{N}=\frac{126}{7}=18\ \text{часов}.
]

Ответ: 18 часов.