Кратко и по шагам.

1) Проверка кратности: (\gcd(12,18)=6), поэтому решения возможны (и только если) так как (6\mid30). Разделим на НОД:
[
2x+3y=5.
]

2) Нахождение частного решения (модульная арифметика удобна): из равенства по модулю 3
[
2x\equiv5\pmod3\Rightarrow 2x\equiv2\pmod3\Rightarrow x\equiv1\pmod3,
]
то есть (x=1+3t,\ t\in\mathbb Z). Подставляем в уравнение:
[
2(1+3t)+3y=5\Rightarrow 2+6t+3y=5\Rightarrow 3y=3-6t\Rightarrow y=1-2t.
]

3) Общий вид всех целых решений:
[
x=1+3t,\qquad y=1-2t,\qquad t\in\mathbb Z.
]

Обоснование полноты: если ((x_0,y_0)) — любое целое решение, то разность двух решений ((x-x_0,y-y_0)) даёт однородное уравнение
[
12(x-x_0)+18(y-y_0)=0,
]
после деления на 6: (2\Delta x+3\Delta y=0). Отсюда (\Delta x=3k,\ \Delta y=-2k) для целого (k), что даёт именно сдвиг по параметру (t). Это эквивалентно общей формуле для уравнения (ax+by=c): решения существуют iff (d=\gcd(a,b)\mid c), и тогда
[
x=x_0+\frac{b}{d}k,\qquad y=y_0-\frac{a}{d}k,\ k\in\mathbb Z,
]
что подтверждает полноту найденного множества.

Почему разные методы: деление на НОД упрощает, параметризация даёт явный семейный вид решений, модульная арифметика быстро даёт частное решение; выбор влияет только на наглядность и скорость, а не на результат.