Кратко и по делу.

1) Дискриминант:
[
D=b^2-4ac=4(a-1)^2-4a=4\bigl(a^2-3a+1\bigr).
]
Решения зависят от знака квадратичного множителя (\Delta(a)=a^2-3a+1). Корни (\Delta(a)=0):
[
a=\frac{3\pm\sqrt5}{2}\qquad(\approx 0.381966,\;2.618034).
]

Следовательно:

два равных корня (кратный) при (\displaystyle a=\frac{3\pm\sqrt5}{2});два различных действительных корня при (\displaystyle a<\frac{3-\sqrt5}{2}) или (\displaystyle a>\frac{3+\sqrt5}{2}) (то есть (D>0));комплексные сопряжённые корни при (\displaystyle \frac{3-\sqrt5}{2}<a<\frac{3+\sqrt5}{2}) (то есть (D<0)).

2) Явные корни как функции параметра:
[
x=\frac{-2(a-1)\pm\sqrt{D}}{2}=1-a\pm\sqrt{a^2-3a+1}.
]
При (D=0) двойной корень (x=1-a).

3) Геометрическая интерпретация (в плоскости ((a,x))):
Переписав уравнение относительно (a),
[
a(2x+1)+x^2-2x=0\quad\Rightarrow\quad a=\frac{2x-x^2}{2x+1}\quad(2x+1\neq0),
]
получаем кривую (a=a(x)). Для фиксированного (a) число корней равно числу пересечений горизонтали (a=\text{const}) с этой кривой: два пересечения (две действительные), одно касание (кратный), нет пересечений (комплексные). Вертикальная асимптота при (x=-\tfrac12). Граничные значения (a) (где касание) соответствуют экстремумам функции (a(x)) и дают те же (\displaystyle a=\frac{3\pm\sqrt5}{2}).

4) Ещё один подход — через суммы и произведение корней (Виет):
[
x_1+x_2=-2(a-1),\qquad x_1x_2=a.
]
Анализируя систему как зависимость пары ((x_1,x_2)) от (a), можно получить ту же классификацию и поведение при изменении (a).

Вывод: пороговые параметры (\displaystyle a=\frac{3\pm\sqrt5}{2}) разделяют три режима: два различных действительных, один двойной и два комплексных корня; это можно получить напрямую через дискриминант, через явные корни как функции (a), или геометрически анализируя кривую (a=\dfrac{2x-x^2}{2x+1}).