Кратко — три практичных способа и оценка точности.

1) Классическое построение перпендикуляра через (A) к прямой (BC) (компас + линейка).

Шаги: провести прямую (BC). Взять радиус (r) (больше расстояния от (A) до (BC)), построить окружность с центром в (A), пересекающую (BC) в точках (D) и (E). Построить серединный перпендикуляр к отрезку (DE) (через пересечения окружностей с центрами в (D) и (E)); этот перпендикуляр проходит через (A) и перпендикулярен (BC) — это высота.Точность: на бумаге — высокая при аккуратной работе: погрешность порядка долей миллиметра (зависит от качества циркуля и линейки, аккуратности построений); на ЭПО (GeoGebra и т.п.) — практически точное построение (погрешность машинной арифметики, обычно (10^{-12})–(10^{-15}) в координатах).

2) Метод через окружность с диаметром (AB) (теорема Фалеса / вписанный угол).

Шаги: построить окружность с диаметром (AB). Эта окружность пересечёт прямую (BC) в точках (B) и в точке (H) — именно (H) (отличная от (B)) является основанием высоты из (A), так как угол (\angle AHB=90^\circ).Точность: на бумаге — тоже очень хорошая, мало шагов (построение середины (AB) и окружности), погрешность сопоставима с пунктом 1; в ЭПО — точное/почти точное.

3) Аналитический / координатный способ (лучше в ПО).

Шаги: положим (B=(0,0)), (C=(8,0)). Координата (x_A) вдоль (BC) вычисляется по формуле
[
x_A=\frac{AB^2-AC^2+BC^2}{2\,BC}.
]
Подставляя числа: (AB^2=49,\;AC^2=81,\;BC^2=64), получаем
[
x_A=\frac{49-81+64}{2\cdot 8}=\frac{32}{16}=2.
]
Тогда (A=(2,y)) и (y=\sqrt{AB^2-x_A^2}=\sqrt{49-4}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}). Основание высоты — точка (H=(2,0)), длина высоты (AH=3\sqrt{5}\approx 6.708).Точность: в ПО — численно очень точный (если использовать точную арифметику или высокую точность), на бумаге — требует вычислений и точной перенесённой точки, поэтому практическая точность хуже (погрешности при измерении и нанесении координат).

Короткое сравнение точности и удобства:

На бумаге: методы 1 и 2 (чистая евклидова конструкция) наиболее надёжны и дают похожую высокую точность; метод 2 иногда проще (меньше промежуточных построений). Метод 3 менее удобен и даёт большую погрешность при ручной отрисовке.В геометрическом ПО: метод 3 и методы 1/2 через построения эквивалентны и дают «точные» результаты (ограничены лишь численной точностью ПО); аналитический метод проще и даёт явные значения (H=(2,0)), (AH=3\sqrt{5}).

Итог: для ручного построения рекомендую метод 2 (окружность с диаметром (AB)) как короткий и точный; в ПО удобно сразу использовать аналитический проекционный расчёт.