Тождество неверно.

1) Область допустимых значений: выражения определены только при (x\neq0) и (\cos x\neq-1) (то есть (x\neq\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb Z)). Для таких (x) можно безопасно домножить на (x(1+\cos x)) и получить
[
\frac{1-\cos x}{x}=\frac{x}{1+\cos x}
\iff (1-\cos x)(1+\cos x)=x^2
]
[
\iff 1-\cos^2 x=\sin^2 x=x^2.
]

2) Но по известному неравенству (|\sin x|\le |x|) равенство (|\sin x|=|x|) выполняется только при (x=0). Следовательно из (\sin^2 x=x^2) следует (x=0), однако (x=0) не принадлежит области допустимых значений (деление на ноль). Значит нет ни одного (x), для которого исходное равенство верно.

3) Где преобразования могли быть недопустимы: деление на (x) или на (1+\cos x) (или домножение на (x(1+\cos x))) недопустимо при соответствующем равенстве нулю; также приведение к (\sin^2 x=x^2) даёт потенциальный кандидат (x=0), но он исключён областью определения.

Корректная формулировка: для всех (x\in\mathbb R) таких, что (x\neq0) и (\cos x\neq-1), равенство
[
\frac{1-\cos x}{x}=\frac{x}{1+\cos x}
]
не выполняется ни при каком (x). Единственное решение уравнения (\sin^2 x=x^2) — (x=0), но оно не входит в область определения исходного выражения. В предельном смысле же
[
\lim{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=\lim{x\to0}\frac{x}{1+\cos x}=0.
]