Рассмотрим ряд (\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}).

1) Признак Лейбница (наиболее прямой). Положим (b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}). Тогда

(b_n) монотонно убывает, так как функция (f(x)=x^{-1/2}) убывает на ((0,\infty));(\lim_{n\to\infty} bn=\lim{n\to\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0).
По признаку Лейбница ряд (\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}b_n) сходится. Оценка остатка: для суммы (S) и частичной суммы (S_N)
[
|S-SN|\le b{N+1}=\frac{1}{\sqrt{N+1}}.
]

2) Абсолютная сходимость. Рассмотрим ряд абсолютных значений (\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}). Это (p)-ряд с (p=\tfrac{1}{2}<1), поэтому он расходится (или применить интегральный тест: (\int_1^\infty x^{-1/2}\,dx=+\infty)). Значит исходный ряд не является абсолютно сходящимся.

Вывод: ряд сходится условно (сходится по Лейбницу, но расходится по модулю). Признак Лейбница — наиболее подходящий тест, потому что он прямо использует знакочередование и монотонность членов; сравнение/интегральный тест удобны для исследования абсолютной сходимости (и показывают её отсутствие).