Кратко — проблема в том, что «равномерно случайная хорда» не однозначно определяется: разные естественные параметризации множества хорд приводят к разным мерам и поэтому к разным вероятностям. Ниже — несколько классических формализаций, вычисления и объяснение различий, затем критерии выбора для практической задачи.
1) Формализация A — случайные концы на окружности (угол)
- Правило: берём две точки на окружности независимо и равномерно по углу (из-за симметрии можно зафиксировать одну точку и выбирать угол между ними $\theta$ равномерно на $[0,\pi ]$).
- Длина хорды: $L=2R\sin (\theta /2)$. Порог (сторона вписанного равностороннего треугольника): $L_0=R\sqrt{3}$.
- Условие $L>L_0$ даёт $\sin (\theta /2)>\sqrt{3}/2\Rightarrow \theta >2\pi /3$. Тогда
$$P=\frac{\pi -2\pi /3}{\pi }=\frac{1}{3}.$$
2) Формализация B — выбираем радиус и точку на нём (расстояние от центра равномерно)
- Правило: выбираем направление радиуса равномерно, затем выбираем точку на этом радиусе равномерно по расстоянию $x\in [0,R]$ и проводим хорду, перпендикулярную радиусу через эту точку.
- Длина хорды через расстояние $x$ от центра: $L=2\sqrt{R^2-x^2}$. Условие $L>R\sqrt{3}$ даёт $x<R/2$.
- Так как $x$ равномерно в $[0,R]$, получаем
$$P=\frac{R/2}{R}=\frac{1}{2}.$$
3) Формализация C — случайный центр хорды (равномерно по площади)
- Правило: выбираем случайную точку в диске равномерно по площади как середину хорды, затем ориентацию хорды произвольна (или равномерна).
- Условие $L>R\sqrt{3}$ эквивалентно тому, что расстояние середины от центра $r<R/2$. Площадный критерий даёт
$$P=\frac{\pi (R/2{)}^2}{\pi R^2}=\frac{1}{4}.$$
Почему ответы разные
- Множество хорд можно параметризовать разными координатами (пара пар точек на окружности; угол между точками; расстояние от центра $r$ и ориентация; середина в диске и ориентация и т.д.). «Равномерность» в одной параметризации не соответствует равномерности в другой: при переходе координат мера меняется (Jacobian).
- Другими словами, проблема неформализована: принцип равномерности (принцип недостаточной информации) неоднозначен без указания, какая симметрия/инвариантность считается существенной.
Критерии выбора «правильной» формулировки для практической задачи
- Описываем процедуру генерации хорд в реальном эксперименте. Если в эксперименте вы действительно выбираете два случайных точечных удара по окружности — используйте модель A (ответ $1/3$). Если вы выбираете точку на радиусе и проводите перпендикуляр — модель B (ответ $1/2$). Если вы на практике выбираете случайную точку в диске и строите хорду через неё (например, бросили точку-метку внутри круга) — модель C (ответ $1/4$). То есть соответствие модели и физического протокола — основной критерий.
- Симметрии/инвариантности: если нет физического протокола, можно выбирать меру по принципу инвариантности (Jaynes): потребовать инвариантности распределения относительно тех трансформаций, которые вы считаете релевантными (вращения, смещения, масштабирования). Но важно явно указать, какие инвариантности вы требуете — разные наборы инвариантностей приводят к разным ответам.
- Практические дополнительные критерии: воспроизводимость (модель реализуема в эксперименте), простота и интерпретируемость (насколько естественно реализуется выбранная случайность), стабильность результатов при малых изменениях процедуры.
Рекомендация
- Всегда формализуйте механизм генерации хорд перед тем, как спрашивать «какая доля…». Если цель — теоретическая «принципиальная равномерность», заявите явно, какие инвариантности вы требуете; если цель — моделирование/эксперимент — выберите модель, соответствующую процедуре сбора данных. Только так спор о «правильном» ответе теряет силу: все три ответа корректны для своих формализаций.