Ряд: $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}\frac{1}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots$ — он условно сходится и в стандартном порядке равен $\ln 2$.
Ключевые факты и пояснения (кратко):
- Абсолютная vs условная сходимость. Абсолютно сходящийся ряд $\sum a_n$ (т.е. $\sum |a_n|<\infty$) сохраняет сумму при любой перестановке членов. Для условно сходящегося ряда (как наш) $\sum |a_n|=\infty$, и перестановки могут менять сумму.
- Перестановки, сохраняющие сумму:
- Любая конечная перестановка (перемещение конечного числа членов) не меняет предел частичных сумм, значит сумму не меняет.
- Разбиение на конечные подряд идущие блоки (сохранение порядка внутри блоков) и суммирование блоков тоже не меняет сумму.
- Перестановки, которые могут изменить сумму: любые бесконечные перестановки общего вида — для условно сходящихся рядов они могут менять сумму, привести к любому заданному числу, к $+\infty$, к $-\infty$ или к несходимости.
Теорема Римана (в формулировке для вещественных рядов):
$$\text{Если ряд}\sum a_n\text{условно сходится, то для любого}L\in \mathbb{R}\text{существует перестановка}{a}_{\sigma (n)}\text{такая, что}\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{\sigma (n)}=L.$$ Более того, существуют перестановки, дающие расходимость к $+\infty$, к $-\infty$, или несуществование предела частичных сумм.
Идея построения/доказательства (эвристика): разделим члены на положительные $p_k$ и отрицательные $q_k$. Для условно сходящегося ряда $\sum p_k=+\infty$ и $\sum q_k=-\infty$. Для получения заданного $L$ поочередно берём достаточно много положительных членов, чтобы превышение частичной суммы над $L$ стало положительным, затем берём отрицательные члены до тех пор, пока сумма не опустится ниже $L$, и т.д. По жадному алгоритму частичные суммы сходятся к $L$.
Примеры перестановок для нашего ряда:
1) Все положительные сначала, затем отрицательные:
$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2k-1}+\sum _{k=1}^{\infty }\left(-\frac{1}{2k}\right).$$ Поскольку ${\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{1}{2k-1}=+\infty$, частичные суммы стремятся к $+\infty$ — ряд расходится к $+\infty$.
2) Аналогично, все отрицательные сначала дают расходимость к $-\infty$.
3) Перестановка, дающая любой фиксированный $L$. Пусть $L\in \mathbb{R}$. Берём первые положительные члены пока их сумма $>L$, затем берём отрицательные, пока сумма $<L$, и т.д. Получаем перестановку с суммой $L$ (это стандартная конструкция в доказательстве теоремы Римана).
Тонкости с группировками:
- Группировка конечно многих подряд идущих членов (напр., попарно: $(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\dots$) не меняет сумму.
- Но если блоки имеют неконтролируемо растущую длину или меняют порядок членов — сумма может измениться.
Выводы:
- Для условно сходящегося ряда порядок членов принципиален: бесконечные перестановки могут менять сумму или привести к расходимости (теорема Римана).
- Для абсолютно сходящихся рядов порядок неважен — любая перестановка сохраняет сумму.