Упрощение. Используя формулы половинного угла:
$$1-\cos x=2{\sin }^2\frac{x}{2},\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2},$$ получаем
$$\frac{{\sin }^{2}x}{1-\cos x}=\frac{4{\sin }^2\frac{x}{2}{\cos }^2\frac{x}{2}}{2{\sin }^2\frac{x}{2}}=2{\cos }^2\frac{x}{2},$$ при условии $\sin \frac{x}{2}\ne 0$ (т. е. $x\notin 2\pi \mathbb{Z}$). Для точек $x\in 2\pi \mathbb{Z}$ исходное выражение имеет вид $0/0$, но предел при $x\to 0$ даёт значение $2$, так что расширение по непрерывности даёт тот же результат.
Допустимые преобразования и замечания для приближённых вычислений
- Алгебраическая отмена общих множителей допустима только если они не равны нулю; при вычислениях в конечной арифметике лучше применять тождественную замену на $2{\cos }^2\frac{x}{2}$, чтобы избежать деления на малое число.
- Численная проблема: выражение $1-\cos x$ при малых $x$ страдает от вычитания близких величин (катастрофическое сокращение точности). Поэтому НЕ рекомендуется вычислять $\frac{{\sin }^{2}x}{1-\cos x}$ как есть для малых $x$.
- Рекомендуемые приёмы:
1. Использовать тождественную замену
$$\frac{{\sin }^{2}x}{1-\cos x}=2{\cos }^2\frac{x}{2},$$ — численно устойчиво, ибо вычисление $\cos \frac{x}{2}$ для малого $x$ даёт число близкое к $1$, а операция возведения в квадрат и умножения на $2$ не приводит к потере значащих цифр.
2. При очень малых $x$ можно использовать разложение в ряд для нужной точности. Разложения:
$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5),\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O(x^6),$$ следовательно
$$\frac{{\sin }^{2}x}{1-\cos x}=2-\frac{x^2}{2}+O(x^4).$$ Для $|x|$ меньше некоторого порога (например, порядка $\sqrt{\mathrm{eps}}$) можно подставлять конечный член ряда (например $2-\frac{x^2}{2}$) с контролируемой ошибкой.
3. Альтернатива: вычислять через $\sin \frac{x}{2}$ $$\frac{{\sin }^{2}x}{1-\cos x}=\frac{(2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}{)}^2}{2{\sin }^2\frac{x}{2}}=2{\cos }^2\frac{x}{2},$$ — практически то же, но при реализации ввести явную проверку на случай, когда $\sin \frac{x}{2}$ под машинный ноль.
- Практический порог: для двойной точности (eps ≈ $2.2\cdot 10^{-16}$) порог порядка $\sqrt{\mathrm{eps}}\sim 10^{-8}$. Для $|x|<10^{-8}$ удобнее брать разложение ряда; для более крупных малых $x$ безопасно использовать $2{\cos }^2\frac{x}{2}$.
- Если $x$ близко к $2\pi k$, предварительно свести аргумент по модулю $2\pi$ до небольшого значения (нап., в интервале $[-\pi ,\pi ]$), чтобы корректно оценивать малую величину.
Кратко: для точных и устойчивых вычислений замените $\frac{{\sin }^{2}x}{1-\cos x}$ на $2{\cos }^2\frac{x}{2}$; при очень малых $x$ можно дополнительно использовать ряд $2-\frac{x^2}{2}+O(x^4)$.