Короткий ответ: да — три медианы однозначно определяют треугольник (с точностью до конгруэнтности), при и только при том, что они сами могут образовать стороны треугольника (т.е. удовлетворяют неравенствам треугольника). Ниже — формулы, алгоритм построения и комментарии.
1) Формулы (обратная связь медиан ↔ стороны).
Пусть медианы к сторонам $a,b,c$ имеют длины $m_a,m_b,m_c$. Тогда справедливы аполлониевы соотношения для медиан:
$$4m_a^2=2b^2+2c^2-a^2,4m_b^2=2c^2+2a^2-b^2,4m_c^2=2a^2+2b^2-c^2.$$ Решая эту систему, получаем явные выражения для квадратов сторон:
$$a^2=\frac{4}{9}(-m_a^2+2m_b^2+2m_c^2),b^2=\frac{4}{9}(2m_a^2-m_b^2+2m_c^2),c^2=\frac{4}{9}(2m_a^2+2m_b^2-m_c^2).$$
2) Условия существования.
Необходимое и достаточное условие существования треугольника с заданными медианами:
- все $m_a,m_b,m_c>0$ и они удовлетворяют неравенствам треугольника
$$m_a<m_b+m_c,m_b<m_c+m_a,m_c<m_a+m_b.$$ (Эквивалентная конструктивная аргументация:пусть векторы от центра тяжести к вершинам имеют длины $\frac{2}{3}{m}_a,\frac{2}{3}{m}_b,\frac{2}{3}{m}_c$ и в сумме равны нулю; такие векторы существуют именно тогда, когда эти три числа могут быть сторонами замкнутого треугольника.)
Альтернативная проверка (алгебраическая): вычислить правые части формул для $a^2,b^2,c^2$. Требуется
$$a^2>0,b^2>0,c^2>0$$ и затем проверить треугольные неравенства для полученных положительных $a,b,c$. Эти(алгебраические) условия эквивалентны указанным выше условиям на медианы.
3) Единственность.
Если условия выполнены, треугольник восстанавливается единственно с точностью до параллельного переноса, поворота и отражения (то есть уникален с точностью до конгруэнтности). Это следует из обратимости линейной системы, приведшей к формулам для $a^2,b^2,c^2$.
4) Алгоритм восстановления (числовой и геометрический).
Числовой (вычислительный):
- Вычислить $a^2,b^2,c^2$ по формулам выше.
- Если какое‑то $a^2\le 0$ — решений нет; если положительны, вычислить $a,b,c=\sqrt{\cdot }$.
- Проверить $a+b>c$ и циклически; если выполнено — построить треугольник со сторонами $a,b,c$ обычным способом (например, на оси отложить $BC=a$, построить круги радиусов $c$ и $b$ и найти точку $A$).
Это даст требуемый треугольник.
Геометрический (прямое построение медианами):
- Постройте произвольный треугольник $T^{\prime }$ со сторонами
$\frac{2}{3}{m}_a,\frac{2}{3}{m}_b,\frac{2}{3}{m}_c$ (возможно тогда и только тогда, когда медианы удовлетворяют неравенствам треугольника).
- Возьмите его стороновые векторы и, прикладывая их к общему началу (центр тяжести), получите три вектора, сумма которых равна нулю; их концы будут вершинами искомого треугольника (центр тяжести в этом построении — общий начальный пункт). В этом построении длина вектора от центра тяжести до вершины равна $\frac{2}{3}m$, что обеспечивает заданные медианы (поскольку центроид делит медиану в отношении $2:1$).
5) Геометрические и вычислительные тонкости.
- Нумерация: важно согласовать, какая медиана соответствует какой стороне (медиана $m_a$ относится к стороне $a$ и т.д.); неверная привязка даст другой треугольник.
- Погрешности: при вычислениях с плавающей точкой при почти вырожденных конфигурациях $a^2$ может получиться небольшим отрицательным числом из‑за округления — в практической реализации следует использовать допуск и проверять близость к нулю.
- Вырожденные случаи: при равенстве в одном из неравенств треугольника для медиан получится вырожденный (коллинеарный) треугольник.
- Симметрия: единственность — только до зеркалирования; отражение (зеркало) даёт конгруэнтный, но изометрично расположенный треугольник.
Вывод: три медианы определяют треугольник однозначно (до конгруэнтности) тогда и только тогда, когда $m_a,m_b,m_c$ удовлетворяют неравенствам треугольника; восстановление делается по формулам для $a^2,b^2,c^2$ или геометрически через треугольник со сторонами $\frac{2}{3}{m}_a,\frac{2}{3}{m}_b,\frac{2}{3}{m}_c$.