Решение и пояснения.
1) Область определения. Подкоренное должно быть неотрицательно: $x+3\ge 0\Rightarrow x\ge -3.$ Кроме того правая часть равенства равна корню (неотрицательна), поэтому нужно иметь $x-1\ge 0\Rightarrow x\ge 1.$ Итого действительная область для уравнения: $x\ge 1.$
2) Возведение в квадрат (с учётом области). При $x\ge 1$ обе части неотрицательны, значит операция «возвести в квадрат» эквивалентна (не даёт дополнительных условий). Возводим в квадрат:
$$\sqrt{x+3}=x-1⟹x+3=(x-1{)}^2.$$ Раскрываем скобки и приводим к квадратному уравнению:
$$x+3=x^2-2x+1\Rightarrow 0=x^2-3x-2.$$ Дискриминант $D=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot (-2)=9+8=17.$ Корни:
$$x=\frac{3\pm \sqrt{17}}{2}.$$ Численно: $x\approx 3.5616$ и $x\approx -\mathrm{0.5616.}$ По области определения ($x\ge 1$) отбрасываем второй корень. Окончательное решение:
$$x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}.$$
3) Проверка и замечание про посторонние корни. Если бы мы не учли условие $x\ge 1$, квадратное уравнение дало бы два корня, но корень $x\approx -0.5616$ не удовлетворяет исходному уравнению (правая часть была бы отрицательной, а корень — неотрицательным). Поэтому всегда проверяйте область определения после алгебраических преобразований.
4) Альтернативные методы.
- Графический: найти пересечение графиков $y=\sqrt{x+3}$ и $y=x-1$. Первый график определён при $x\ge -3$, неотрицателен и растёт сублинейно; второй — прямая с наклоном 1. Пересечение при $x\ge 1$ даёт искомое значение $x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}.$ - Метод монотонности/функция разности: положим $f(x)=\sqrt{x+3}-(x-1)$. На отрезке $[1,\infty )$ производная
$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+3}}-1<\frac{1}{4}-1<0,$$ т.е. $f$ строго убывает на $[1,\infty )$. Так как $f(1)=2>0$ и ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=-\infty$, по теореме о промежуточных значениях существует ровно один корень на $[1,\infty )$, что подтверждает единственность найденного решения.
Ответ: $x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}.$