Ошибка в том, что при переходе к делению на $a-b$ предполагается, что $a-b\ne 0$. Но из
$$a^2=b^2$$ следует
$$(a-b)(a+b)=0,$$ то есть либо $a-b=0$, либо $a+b=0$. Если $a-b=0$ (то есть $a=b$), то делить на $a-b$ нельзя — деление на ноль недопустимо. Именно это делает вывод «$1=-1$» некорректным.
Корректное утверждение: из $a^2=b^2$ следует либо $a=b$, либо $a=-b$. Дополнительно: если известно, что $a\ne b$, то можно делить на $a-b$ и получить $a+b=0\Rightarrow a=-b$; если известно, что $a\ne -b$, то деление на $a+b$ даёт $a=b$.