Ответ: предел равен $1/2$.
Метод 1 — сопряжённое выражение (алгебраическое упрощение):
$$n(\sqrt{n^2+1}-n)=n\cdot \frac{(n^2+1)-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n}=\frac{n}{\sqrt{n^2+1}+n}.$$ Разделим числитель и знаменатель на $n$:
$$\frac{n}{\sqrt{n^2+1}+n}=\frac{1}{\sqrt{1+1/n^2}+1}\to \frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.$$
Метод 2 — разложение в ряд (асимптотика/Taylor):
$$\sqrt{n^2+1}=n\sqrt{1+1/n^2}=n(1+\frac{1}{2n^2}+O(n^{-4}\left)\right)=n+\frac{1}{2n}+O\left(n^{-3}\right).$$ Тогда
$$n(\sqrt{n^2+1}-n)=n(\frac{1}{2n}+O(n^{-3}))=\frac{1}{2}+O(n^{-2})\to \frac{1}{2}.$$
Краткое обсуждение удобства методов:
- Сопряжённое выражение удобно для точных алгебраических пределов с корнями — быстро и без развёрнутых рядов.
- Разложение в ряд (или асимптотика) полезно, если нужны более высокие члены разложения или оценка скорости сходимости.
Оба метода дают тот же результат $\frac{1}{2}$.