Недостатки в формулировке студента и ответ:
1) Неправильно считать автоматически, что производная связана однозначно с глобальным максимумом:
- Наличие единственной точки, в которой $p^{\prime }(x)=0$, не означает, что в этой точке достигается (единственный) глобальный максимум: критическая точка может быть минимумом или точкой перегиба; максимум может быть на конце отрезка, где производная не обязана быть нулевой.
- Производная может обнуляться на множестве точек (константа) или иметь несколько нулей; студент ничего не доказывает о числе нулей $p^{\prime }$.
- Не учтены граничные точки: на отрезке [0,1] максимум может лежать в $0$ или $1$.
2) Контрпримеры:
- Константа: $p(x)=1$. Тогда $p^{\prime }(x)=0$ на всём $[0,1]$ и максимум достигается во многих точках.
- Критическая точка не является максимумом: $p(x)=(x-\frac{1}{2}{)}^3$ на $[0,1]$. Тогда $p^{\prime }(x)=3(x-\frac{1}{2}{)}^2$ обнуляется только в $x=\frac{1}{2}$, но глобальный максимум на $[0,1]$ достигается в $x=1$.
- Пример с уникальным внутренним максимум: $p(x)=x-x^2$. Тут $p^{\prime }(x)=1-2x$, ноль в $x=\frac{1}{2}$, и это действительно единственный максимум.
3) Правильные достаточные условия для единственности максимума:
- Строгая вогнутость: если $p^{\prime \prime }(x)<0$ для всех $x\in [0,1]$, то $p$ строго вогнута на $[0,1]$ и потому имеет единственную точку глобального максимума на $[0,1]$. Краткое доказательство: из $p^{\prime \prime }<0$ следует, что $p^{\prime }$ строго убывает, значит уравнение $p^{\prime }(x)=0$ имеет не более одного корня; если такой корень $t\in (0,1)$ существует и $p^{\prime }$ меняет знак с $+$ на $-$, то $t$ — строгий (и потому единственный) глобальный максимум; если корня нет, максимум достигается на одном из концов и, поскольку функция строго вогнута, этот максимум единственен.
- Более общая формулировка: если $p^{\prime }$ имеет ровно один корень $t\in (0,1)$ и $p^{\prime }(x)>0$ на $(0,t)$, $p^{\prime }(x)<0$ на $(t,1)$, то $t$ — единственный максимум на $[0,1]$.
Вывод: утверждение студента в общем виде неверно. Чтобы утверждение стало верным, нужно добавить дополнительные условия (например, строгая вогнутость $p^{\prime \prime }<0$ на $[0,1]$ или явное условие о знаке $p^{\prime }$ слева и справа от единственной его нуля).