Решение и объяснение (кратко).
1) Из уравнения $f(x+y)=f(x)f(y)$ подставим $x=y=0$: $f(0)=f(0{)}^2\Rightarrow f(0)\in \{0,1\}.$ Но $f(1)=e\ne 0$, поэтому $f(0)=1$.
2) Для любого $x$ имеем $f(x)=f\left(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\right)=f{\left(\frac{x}{2}\right)}^2\ge 0.$ Поскольку $f(1)\ne 0$, невозможно, чтобы какая‑то точка давала нуль (иначе по мультипликативности иная точка обнулилась бы тоже), значит $f(x)>0$ для всех $x$.
3) Положительность позволяет ввести $g(x)=\ln f(x)$. Тогда из исходного равенства следует аддитивность:
$g(x+y)=\ln f(x+y)=\ln (f(x)f(y))=g(x)+g(y).$ Функция $g$ непрерывна (как композиция непрерывных функций), а непрерывные решения уравнения Коши имеют вид линейной функции: $g(x)=ax.$ По условию $a=g(1)=\ln f(1)=\ln e=1.$ Следовательно $g(x)=x$ и
$f(x)=e^{g(x)}=e^x.$
Вывод: при непрерывности на $\mathbb{R}$ единственное решение — $f(x)=e^x.$
Краткое обсуждение подходов и патологий:
- Логарифмическое преобразование — естественно и законно, потому что сначала доказывается $f(x)>0$.
- Достаточно даже непрерывности в одной точке (или ограниченности на отрезке, измеримости и т.п.) для того, чтобы аддитивная $g$ была линейной.
- Без дополнительной регулярности существуют «патологические» аддитивные функции $a(x)$ (строящиеся через базис Хемеля), не являющиеся линейными; тогда $f(x)=e^{a(x)}$ даёт непрерывные? нет — сильно разрывные — решения уравнения $f(x+y)=f(x)f(y)$. Можно также выбрать такое $a$, что $a(1)=1$, тогда условие $f(1)=e$ выполнено, но функция будет дикой (неизмеримой, нигде непрерывной).